psi1(x)=A x e^-x^2 / 2
onde L é um comprimento característico. Para que essa função seja normalizada, a constante A deve ter um valor específico. Qual das opções abaixo representa corretamente essa constante de normalização?
Alternativas:
a) A=raiz[4]4pi L^6
b) A=raiz4pi L^6
c) A=raiz2pi L^¿¿
d) A=raiz2pi^2 L^3
e) A=raiz[4]4pi L^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função psi1(x) = A x e^-x^2 / 2 e precisa encontrar a constante A que faz essa função ser normalizada. Normalizar significa que a integral do quadrado da função em todo o espaço deve dar 1. A matéria aqui é sobre normalização de funções de onda, que é fundamental na mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função. A função psi(x) está normalizada se:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1
Ou seja, a integral do módulo ao quadrado da função em todo o espaço dá exatamente 1.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função psi1(x). Primeiro, calculamos o módulo ao quadrado:
|psi1(x)|^2 = (A x e^-x^2 / 2)^2 = A^2 x^2 e^-x^2
Então, a condição de normalização fica:
integral-infty^infty A^2 x^2 e^-x^2 dx = 1

Passo 4

Agora, podemos tirar a constante A^2 para fora da integral:
A^2 integral-infty^infty x^2 e^-x^2 dx = 1
Nosso objetivo agora é calcular a integral integral-infty^infty x^2 e^-x^2 dx.

Passo 5

Sabemos que a integral de x^2 e^-x^2 de -infty a infty é uma integral conhecida e vale:
integral-infty^infty x^2 e^-x^2 dx = raizpi2
Essa é uma das integrais gaussianas básicas que aparecem frequentemente em física e matemática.

Passo 6

Substituindo o valor da integral na equação da normalização:
A^2 cdot raizpi2 = 1
Agora, resolvemos para A^2:
A^2 = 2raizpi
E finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar A:
A = raiz2raizpi = ( 2pi^1/2 )^1/2 = 2^1/2pi^1/4 = raiz2pi^1/2
Simplificando mais, temos:
A = raiz2pi cdot pi^1/4 = raiz2pi cdot pi^1/4 = raiz2pi^(1/2) = raiz2pi^1/2
Mas percebemos que na verdade há um erro de simplificação. Vamos refazer:
Desde A^2 = 2raizpi, tirando a raiz quadrada corretamente:
A = raiz2raizpi = (2pi^1/2)^1/2 = 2^1/2pi^1/4 = raiz[4]4pi

Resposta

A constante de normalização correta é a letra a) A = raiz[4]4pi L^6.

Exercícios relacionados