onde
é um comprimento característico. Para que essa função seja normalizada, a constante
deve ter um valor específico. Qual das opções abaixo representa corretamente essa constante de normalização?
Alternativas:
a)
b)
c)
d)
e)
Alternativas:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa encontrar a constante
que faz essa função ser normalizada. Normalizar significa que a integral do quadrado da função em todo o espaço deve dar 1. A matéria aqui é sobre normalização de funções de onda, que é fundamental na mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função. A função
está normalizada se:
Ou seja, a integral do módulo ao quadrado da função em todo o espaço dá exatamente 1.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Primeiro, calculamos o módulo ao quadrado:
Então, a condição de normalização fica:
Passo 4
Agora, podemos tirar a constante
para fora da integral:
Nosso objetivo agora é calcular a integral
.
Passo 5
Sabemos que a integral de
de
a
é uma integral conhecida e vale:
Essa é uma das integrais gaussianas básicas que aparecem frequentemente em física e matemática.
Passo 6
Substituindo o valor da integral na equação da normalização:
Agora, resolvemos para
:
E finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Simplificando mais, temos:
Mas percebemos que na verdade há um erro de simplificação. Vamos refazer:
Desde
, tirando a raiz quadrada corretamente:
Resposta
A constante de normalização correta é a letra a)
.