ATENÇÃO: Sejam f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} e curvas contínuas \gamma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} e \beta: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tais que \gamma(0)=\beta(0)=(0,0). O fato de
\lim _{t \rightarrow 0} f(\gamma(t))=L \text { e } \lim _{t \rightarrow 0} f(\beta(t))=L
NÃO IMPLICA (ISTO É, NEM SEMPRE GARANTE) que
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=L
(a) Dê um exemplo em que isso é ilustrado.
(b) Como e para que então se utilizam curvas compostas com a função? Exemplifique.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Dar um exemplo concreto que mostre que o fato de existirem duas curvas contínuas \gamma e \beta com \gamma(0)=\beta(0)=(0,0) e
\lim_{t\to 0} f(\gamma(t))=L \quad\text{e}\quad \lim_{t\to 0} f(\beta(t))=L
não garante que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L.
  1. (b) Explicar como e para que se usam curvas compostas com a função f (isto é, f\circ\gamma), com exemplificação: quando elas servem para mostrar que o limite NÃO existe e quando servem para ajudar a provar que o limite existe.
Informações relevantes dadas: as curvas são contínuas, passam pela origem em t=0, e estamos trabalhando com limites em \mathbb{R}^2 perto de (0,0).

Passo 2

Breve aula (essencial) sobre limite em \mathbb{R}^2 e a ideia de testar por curvas.
  • Definição (intuitiva e usada em provas): dizemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
se, quando (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho (qualquer sequência de pares (x_n,y_n) com (x_n,y_n)\to(0,0)), os valores f(x_n,y_n) tendem para L. Uma forma prática: o limite existe e é L se e somente se para toda sequência (x_n,y_n)\to(0,0) com (x_n,y_n)\neq(0,0) temos f(x_n,y_n)\to L.
  • Consequência prática: se existir ao menos uma curva \gamma e outra curva \beta tais que
\lim_{t\to 0} f(\gamma(t)) \neq \lim_{t\to 0} f(\beta(t)),
então o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Ou seja, achar duas curvas com limites diferentes é uma maneira direta de provar que o limite não existe.
  • Porém: o fato de duas (ou mesmo muitas) curvas darem o mesmo limite NÃO é suficiente para concluir que o limite em \mathbb{R}^2 exista. É necessário (para garantir existência) mostrar isso para todo caminho ou usar um argumento que mostre independência do caminho (por exemplo, escrever f em termos do raio r=\sqrt{x^2+y^2} ou fornecer uma estimativa \lvert f(x,y)-L\rvert\le g(r) com g(r)\to 0 quando r\to 0).

Passo 3

Escolhendo o exemplo para (a). Vou apresentar uma função clássica usada nesses contraexemplos e curvas simples que ilustram o ponto pedido.
Defino a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
Escolho duas curvas simples (linhas e eixos):
\gamma(t)=(t,0),\qquad \beta(t)=(0,t),
para t real e t\to 0. Observação: usei curvas muito simples para que a conta fique clara na prova.]

Passo 4

Calculo o limite de f ao longo da curva \gamma.
  • Substituo \gamma(t) em f. Para t\neq 0,
f(\gamma(t))=f(t,0)=\frac{t^{2}\cdot 0}{t^{4}+0^{2}}=0.
  • Portanto
\lim_{t\to 0} f(\gamma(t))=0.
Logo, ao longo de \gamma o limite é L=0.

Passo 5

Calculo o limite de f ao longo da curva \beta.
  • Substituo \beta(t) em f. Para t\neq 0,
f(\beta(t))=f(0,t)=\frac{0^{2}\cdot t}{0^{4}+t^{2}}=0.
  • Portanto
\lim_{t\to 0} f(\beta(t))=0.
Logo, ao longo de \beta o limite também é L=0.
Até aqui temos duas curvas que dão o mesmo limite L=0. Agora vou mostrar que isso não garante o limite total: existe outra curva com limite diferente.

Passo 6

Procuro uma curva que torne o valor de f não nulo ao aproximar a origem. Uma escolha clássica é a parábola y=x^{2}. Defino a curva
\delta(t)=(t,t^{2}),
para t\to 0. Isso é uma curva contínua com \delta(0)=(0,0).

Passo 7

Calculo o limite de f ao longo de \delta.
  • Para t\neq 0,
f(\delta(t))=f(t,t^{2})=\frac{t^{2}\cdot t^{2}}{t^{4}+(t^{2})^{2}}=\frac{t^{4}}{t^{4}+t^{4}}=\frac{t^{4}}{2t^{4}}=\frac{1}{2}.
  • Portanto
\lim_{t\to 0} f(\delta(t))=\frac{1}{2}.

Passo 8

Conclusão do (a) com explicação didática.
  • Ao longo das curvas \gamma e \beta obtivemos \lim f(\gamma(t))=\lim f(\beta(t))=0.
  • Entretanto, ao longo a curva \delta obtivemos \lim f(\delta(t))=\tfrac{1}{2}\neq 0.
  • Pelo argumento mencionado anteriormente, se o limite total \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existisse e fosse igual a L, então todas as curvas que se aproximam de (0,0) teriam de dar limite L. Como encontramos duas curvas que dão limites distintos, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
não existe.
  • Assim, este exemplo ilustra exatamente o que o enunciado quer: duas curvas com mesmo limite não garantem o limite total.

Passo 9

Agora a parte (b): como e para que usar curvas compostas f\circ\gamma.
  • Uso para mostrar que o limite NÃO existe:
    • Estratégia prática (muito usada em provas): tentar encontrar duas curvas \gamma_1 e \gamma_2 com \gamma_i(0)=(0,0) tais que
    \lim_{t\to 0} f(\gamma_1(t))\neq \lim_{t\to 0} f(\gamma_2(t)).
    • Se você encontra isso, então imediatamente conclui que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe.
    • Exemplo: no item (a) vimos exatamente isso com \gamma (eixo x), \beta (eixo y) e \delta (parábola), embora no (a) \gamma e \beta tenham dado o mesmo limite; bastaria comparar \gamma com \delta para concluir a não existência (0 versus 1/2).
  • Uso para tentar PROVAR que o limite existe:
    • Testar algumas curvas não prova que o limite exista (poderia falhar em alguma curva estranha). Para provar existência é melhor:
      1. Mostrar que f(x,y) pode ser escrito em função do raio r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e de \theta de modo que o comportamento quando r\to 0 não dependa de \theta; ou
      2. Mostrar uma desigualdade do tipo \lvert f(x,y)-L\rvert\le g(r) com g(r)\to 0 quando r\to 0. Isso implica que, para qualquer curva \gamma, \lvert f(\gamma(t))-L\rvert\le g(r(t))\to 0, logo f(\gamma(t))\to L para toda curva; portanto o limite total é L.
    • Exemplo didático de prova de existência por polar (mostro passo a passo abaixo).

Passo 10

Exemplo que ilustra prova de existência usando composição com curvas (ou seja, mostrar independência do caminho).
Considere g(x,y)=x^{2}+y^{2}. Quero provar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=0.
  • Em coordenadas polares escrevemos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então
g(x,y)=r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta = r^{2}.
  • Logo g(x,y) depende apenas de r. Se (x,y)\to(0,0) então r\to 0, assim g(x,y)=r^{2}\to 0 independentemente de \theta. Portanto o limite existe e é 0.
  • Comentário prático: provar que a expressão depende só de r ou estimá-la por uma função de r é uma forma sistemática de garantir que o limite é independente do caminho.

Passo 11

Dicas práticas para a prova/exame (curvas que experimentar e raciocínio):
  • Para procurar não existência: testar linhas y=mx (substituir e ver dependência em m), parábolas y=kx^{2}, curvas y=kx^{\alpha} com \alpha>0, eixos x=0 e y=0. Se dois testes fornecerem limites diferentes, encerre — não precisa testar mais.
  • Para provar existência: tente reescrever f em função de r e \theta ou achar uma desigualdade do tipo \lvert f(x,y)-L\rvert \le h(r) com h(r)\to 0. Isso vale para todas as curvas de uma vez só.
  • Lembre-se: mostrar que muitas curvas dão o mesmo limite só dá evidência; uma prova completa exige argumento que abrange todas as sequências/curvas.

Resposta

(a) Exemplo: \displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0)\\[6pt]0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}. Para \gamma(t)=(t,0) e \beta(t)=(0,t) temos \lim_{t\to 0}f(\gamma(t))=\lim_{t\to 0}f(\beta(t))=0, mas para \delta(t)=(t,t^{2}) temos \lim_{t\to 0}f(\delta(t))=\tfrac{1}{2}; portanto \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe.
(b) Uso das curvas: compor f com curvas é uma ferramenta para testar limites. Se duas curvas dão limites diferentes, então o limite total não existe (contraexemplo imediato). Para provar existência, deve-se mostrar independência do caminho (por exemplo reescrever f em função de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} ou obter uma desigualdade \lvert f(x,y)-L\rvert\le g(r) com g(r)\to 0); assim todas as curvas simultaneamente dão o mesmo limite e o limite em \mathbb{R}^{2} existe.]

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