Seja f: A \subset \mathbb{R}^{2}. Considere as seguintes afirmações e utilize os sinais " \Longrightarrow " ou " \Longleftrightarrow " para comparálas. Quando somente vale " \Longrightarrow " e não " \Longleftrightarrow ", justifique isso através de um exemplo.
(a) f é diferenciável em \left(x_{0}, y_{0}\right).
(b) f é contínua em \left(x_{0}, y_{0}\right).
(c) Existem as derivadas parciais de f em \left(x_{0}, y_{0}\right).
(d) \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right).
(e) As derivadas parciais de f existem numa bola centrada em \left(x_{0}, y_{0}\right) e são contínuas em \left(x_{0}, y_{0}\right).
(f) Para um dado vetor unitário \vec{w} vale \frac{\partial f}{\partial \vec{w}}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right) \cdot \vec{w}.
(g) Existem as derivadas parciais de f em \left(x_{0}, y_{0}\right) e
\lim _{(h, k) \rightarrow(0,0)} \frac{f\left(x_{0}+h, y_{0}+k\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)-\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right) h-\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right) k}{\|(h, k)\|}=0 .
(h) Existem números reais a e b tais que
\lim _{(h, k) \rightarrow(0,0)} \frac{f\left(x_{0}+h, y_{0}+k\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)-a h-b k}{\|(h, k)\|}=0 .
(i) f tem derivadas direcionais em \left(x_{0}, y_{0}\right) para todas as direções.
(j) Existe um único plano tangente ao gráfico de f em \left(x_{0}, y_{0}, f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right).
(k) As derivadas parciais de f existem em uma bola centrada em \left(x_{0}, y_{0}\right) e
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \quad \text { e } \quad \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right)

Passo 1

Vou primeiro listar claramente o que cada afirmação diz, ponto a ponto, para não nos perdermos depois. Não vou resolver nada ainda — só explico o que cada enunciado dá ou pede.
  • (a) Diz que f é diferenciável em \left(x_{0},y_{0}\right). Ou seja, existe uma aproximação linear de f naquele ponto (vamos trabalhar a definição formal nos próximos passos).
  • (b) Diz que f é contínua em \left(x_{0},y_{0}\right). Significa que \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0).
  • (c) Diz que existem as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} em \left(x_{0},y_{0}\right) (os limites de diferença nas direções coordenadas existem).
  • (d) Diz explicitamente que \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0). Note que isto é a mesma afirmação de (b).
  • (e) Diz que as derivadas parciais existem numa bola centrada em \left(x_{0},y_{0}\right) e que essas derivadas parciais são contínuas em \left(x_{0},y_{0}\right).
  • (f) Para um dado vetor unitário \vec w vale \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec w}\left(x_{0},y_{0}\right)=\nabla f\left(x_{0},y_{0}\right)\cdot\vec w. Ou seja, a derivada direcional naquela direção coincide com o produto escalar do gradiente pela direção.
  • (g) Diz que existem as derivadas parciais em \left(x_{0},y_{0}\right) e que o resto na aproximação linear com essas parciais dividido pela norma vai a 0; escrevendo: \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h-\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)k}{\|(h,k)\|}=0.
  • (h) Diz que existem números reais a,b tais que a mesma condição de resto sobre \|(h,k)\| vai a 0, ou seja a existência de uma aproximação linear com coeficientes a,b (não se afirma inicialmente que a,b são as derivadas parciais).
  • (i) Diz que f tem derivadas direcionais em \left(x_{0},y_{0}\right) para todas as direções (existem os limites ao longo de todas as retas que passam pelo ponto).
  • (j) Diz que existe um único plano tangente ao gráfico de f em \left(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\right).
  • (k) Diz que as derivadas parciais existem numa bola centrada em \left(x_{0},y_{0}\right) e que \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\qquad \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0).Ou seja, as parciais existem no entorno e são contínuas no ponto (definição de continuidade das parciais).
A partir daqui vamos provar implicações, equivalências e fornecer exemplos contrários quando uma implicação não é conversível.

Passo 2

Definição precisa de diferenciabilidade (ferramenta central): vou explicar o que significa f ser diferenciável em (x_0,y_0), porque essa definição será usada várias vezes.
  • Definição: f é diferenciável em (x_0,y_0) se existem números a,b (coeficientes do mapa linear) tais que, chamando R(h,k) o resto,
    f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=a h + b k + R(h,k)
    e
    \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{R(h,k)}{\|(h,k)\|}=0.
    Em palavras: existe um mapa linear que aproxima f com erro pequeno em relação à distância \|(h,k)\|.
  • Importante: se f é diferenciável então esses a,b são exatamente as derivadas parciais \displaystyle a=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) e \displaystyle b=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0). Vou mostrar isso no próximo passo.

Passo 3

Prova de implicações básicas: (a)\Longrightarrow (b), (b)\Longleftrightarrow (d), (a)\Longrightarrow \text{(c)}.
  • Prova de (a)\Longrightarrow (b): Se f é diferenciável em (x_0,y_0) então, pela definição do passo anterior,
    f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=a h + b k + R(h,k),
    com \displaystyle \frac{R(h,k)}{\|(h,k)\|}\to 0 quando (h,k)\to(0,0). Tomando (h,k)\to(0,0) faz com que ah+bk\to 0 e R(h,k)\to 0, logo f(x_0+h,y_0+k)\to f(x_0,y_0). Isso é exatamente continuidade em (x_0,y_0). Portanto (a)\Longrightarrow(b).
  • Observação que já era óbvia: (b) e (d) são a mesma afirmação; então
    (b)\Longleftrightarrow (d).
  • Prova de (a)\Longrightarrow \text{(c)}: A partir da fórmula linear,
    \frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}=a+\frac{R(h,0)}{h}.
    Como \|(h,0)\|=|h| e \dfrac{R(h,0)}{|h|}\to0, segue que o limite à esquerda existe e é a. Logo \partial f/\partial x existe e vale a. Igual argumento para a derivada em y. Assim diferenciabilidade implica existência das derivadas parciais e os coeficientes lineares são exatamente essas derivadas.

Passo 4

Equivalências diretas envolvendo a definição: (a)\Longleftrightarrow (g)\Longleftrightarrow (h)\Longleftrightarrow (j). Vou explicar por que essas afirmações são equivalentes e dar comentários didáticos.
  • Relação (a)\Longleftrightarrow (g):
    • A afirmação (g) é exatamente a definição de diferenciabilidade escrita de modo que os coeficientes na aproximação linear são as derivadas parciais. Portanto (g) é uma forma explícita da definição em (a) e vice-versa. Logo (a)\Longleftrightarrow (g).
    • Detalhe didático: (g) exige primeiro que as parciais existam (para poder escrever os coeficientes) e depois exige que o resto seja pequeno em relação à norma; isso casa perfeitamente com a definição da passagem linear.
  • Relação (a)\Longleftrightarrow (h):
    • (h) pede a existência de alguns números a,b que dão a aproximação linear com resto pequeno. Pela definição de diferenciabilidade (veja Passo 2), isso é exatamente (a). Além disso, quando (h) é verdadeira os a,b obrigatoriamente coincidem com as derivadas parciais (pela mesma argumentação do Passo 3), logo (h) e (g) são compatíveis. Portanto (a)\Longleftrightarrow (h).
  • Relação (a)\Longleftrightarrow (j):
    • Um plano tangente único no ponto é justamente a representação geométrica da aproximação linear única do gráfico de f. Se f é diferenciável existe um plano tangente (o plano dado por z=f(x_0,y_0)+a(x-x_0)+b(y-y_0)) e é único (porque se houvesse dois com erros pequenos relativos à distância a diferença linear entre eles teria que ser negligible, forçando coeficientes iguais). Reciprocamente, a existência de um plano tangente que aproxime o gráfico na ordem da distância implica que o resto tem ordem menor que \|(h,k)\|, logo a propriedade de diferenciabilidade. Assim (a)\Longleftrightarrow (j).
Resumo desta etapa: as afirmações (a), (g), (h) e (j) são equivalentes entre si (são todas versões da mesma ideia: existência de uma aproximação linear única).

Passo 5

Teorema clássico de diferenciabilidade por continuidade das derivadas parciais: (e)\Longrightarrow (a). E mostro também que (e) é a mesma que (k).
  • Explicação do teorema: Se as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y existem numa vizinhança de (x_0,y_0) e são contínuas em (x_0,y_0) (isto é, as parciais têm limites nas proximidades e convergem para seus valores no ponto), então f é diferenciável em (x_0,y_0).
    • Intuição: usar a versão bidimensional do Teorema do Valor Médio (ou dizer que se as derivadas parciais são contínuas podemos integrar ao longo dos lados do retângulo e controlar o resto). A prova técnica escreve a diferença f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0) como soma de duas diferenças e aplica o TVM na direção de x e de y para obter a forma linear mais um erro que depende das variações das parciais; a continuidade permite controlar esse erro e mostrar que é o(\|(h,k)\|).
    • Conclusão: (e)\Longrightarrow (a).
  • Observação sobre (e) e (k): (k) é justamente a formulação dessa continuidade das derivadas parciais (existem num entorno e seus limites no ponto são os valores no ponto). Assim
    (e)\Longleftrightarrow (k).

Passo 6

Contraexemplo para mostrar que [(a)\not\Longrightarrow (e)) (isto é, diferenciabilidade não garante continuidade das derivadas parciais).
  • Exemplo (fácil e clássico): Defina a função univária h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} h(x)= \begin{cases} x^{2}\sin\left(\dfrac{1}{x}\right),& x\neq 0,\\[4pt] 0,& x=0. \end{cases}Então h\] é diferenciável em todo ponto de \(\mathbb{R} (por ser combinação de funções diferenciáveis fora de 0 e por cálculo direto do limite em 0), mas h'(x) não é contínua em 0 (pois h'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x) para x\neq0, que oscila e não tem limite quando x\to0).
  • Agora defina f(x,y)=h(x) (isto é, f independe de y). Então f é diferenciável em (0,0) (porque h é diferenciável), mas a derivada parcial \partial f/\partial x=h'(x) não é contínua em x=0. Logo f é diferenciável porém as derivadas parciais não são contínuas em (0,0). Assim (a)\not\Longrightarrow(e).
  • Comentário amigável: esse exemplo é muito útil porque transforma um fenômeno unidimensional (derivada não contínua) em um exemplo bidimensional facilmente manipulado.]

Passo 7

Mostro que existência das derivadas parciais em um ponto (c) não basta para diferenciabilidade: [(c)\not\Longrightarrow (a)). Dou um exemplo explícito.
  • Exemplo padrão (usado frequentemente): defina f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,& (x,y)=(0,0). \end{cases}Vou verificar propriedades:
    • Cálculo das derivadas parciais em ((0,0)]:
      \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}=0.
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\lim_{k\to0}\frac{0}{k}=0.
Logo as derivadas parciais existem e valem \(0\).
  • Mas considere a aproximação ao longo da curva y=x^{2}. Para x\neq0, f\bigl(x,x^{2}\bigr)=\frac{x^{2}\cdot x^{2}}{x^{4}+x^{4}}=\frac{x^{4}}{2x^{4}}=\frac{1}{2}.Assim \lim_{x\to0} f(x,x^{2})=\tfrac12\neq 0=f(0,0). Logo f não é contínua em (0,0) e, portanto, não é diferenciável ali.
  • Conclusão: temos um exemplo em que (c) é verdadeiro (parciais existem) mas (a) é falso (não é diferenciável). Portanto \text{(c)}\not\Longrightarrow (a).]

Passo 8

Derivadas direcionais e relação com diferenciabilidade: [(a)\Longrightarrow (i)) e (a)\Longrightarrow (f). Também eu mostro que as recíprocas são falsas em geral.
  • Prova de (a)\Longrightarrow (i): Se f é diferenciável em (x_0,y_0), então a aproximação linear dá, para qualquer direção \vec v, a existência do limite do quociente ao longo da reta na direção \vec v. Em notação, a derivada direcional na direção \vec w existe e vale \nabla f(x_0,y_0)\cdot\vec w. Assim diferenciabilidade garante existência de derivadas direcionais em todas as direções. Logo (a)\Longrightarrow(i).
  • Prova de (a)\Longrightarrow (f): A afirmação (f) é uma forma explícita do que disse: se f é diferenciável então para todo vetor unitário \vec w a derivada direcional é \nabla f\cdot\vec w. Em particular, a igualdade de (f) vale para qualquer \vec w. Então (a)\Longrightarrow(f).
  • Contraexemplo mostrando que (i)\not\Longrightarrow (a) e (f)\not\Longrightarrow (a): uso novamente a função do Passo 7,
    f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,& (x,y)=(0,0). \end{cases}
    • Para qualquer linha reta y=mx\] (ou seja direção \(\vec w fixada), ao tomar t\to0, f(t,mt)=\frac{t^{2}(mt)}{t^{4}+m^{2}t^{2}}=\frac{m t^{3}}{t^{2}(t^{2}+m^{2})}=\frac{m t}{t^{2}+m^{2}}\to 0.Assim todas as derivadas direcionais ao longo de retas passam a ser 0 em (0,0). Ou seja (i) vale (as derivadas direcionais ao longo de todas as direções das retas existem e são 0).
    • Além disso, as derivadas parciais são 0 em (0,0), então \nabla f(0,0)=(0,0). A igualdade de (f) para qualquer direcção \vec w fica 0=0, que é verdadeira. Logo (f) também vale para este exemplo.
    • Contudo, como visto no Passo 7, f não é contínua em (0,0) e, portanto, não é diferenciável. Assim sendo (i) e (f) não implicam (a).
    • Conclusão: as implicações (i)\not\Longrightarrow (a) e (f)\not\Longrightarrow (a) ficam demonstradas por contraexemplo.]

Passo 9

Outras observações úteis (ligações e não-ligações que costumam confundir):
  • (c) não implica (i) em geral: ter apenas as derivadas parciais em um ponto não garante que existam derivadas direcionais em todas as direções. (Já demonstramos que (c) não implica (a) e (a) implica (i); portanto (c) não garante (i).) Podemos construir exemplos onde as parciais existem mas certas derivadas direcionais não — a construção do Passo 7 já mostra que a existência das parciais isoladas não controla o comportamento ao longo de trajetórias gerais.
  • (f) é uma consequência da diferenciabilidade para qualquer \vec w. Afirmar (f) apenas para um vetor unitário \vec w é uma condição fraca (um único teste direcional não captura diferenciabilidade).
  • (e) e (k) são condições mais fortes e “práticas” para garantir diferenciabilidade: se as parciais existem num entorno e são contínuas no ponto, então f é diferenciável.

Passo 10

Resumo didático final das implicações e equivalências que podemos afirmar com prova ou contraexemplos apresentados:
  • Equivalências verdadeiras (são a mesma propriedade em formas diferentes):
    • [(a)\Longleftrightarrow (g)\Longleftrightarrow (h)\Longleftrightarrow (j)). (Todas expressam a existência de uma aproximação linear única / plano tangente.)
  • Implicações verdadeiras (e unilaterais):
    • (a)\Longrightarrow (b) e, portanto, (a)\Longrightarrow (d).
    • (b)\Longleftrightarrow (d).
    • (a)\Longrightarrow \text{(c)}.
    • (e)\Longleftrightarrow (k) e (e)\Longrightarrow (a) (continuidade das parciais num entorno garante diferenciabilidade).
    • (a)\Longrightarrow (i) e (a)\Longrightarrow (f).
  • Contraexemplos que provam que as conversas inversas não valem em geral:
    • \text{(c)}\not\Longrightarrow (a): exemplo f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[4pt] 0,&(x,y)=(0,0),\end{cases}tem \partial f/\partial x(0,0)=\partial f/\partial y(0,0)=0\] mas não é contínua nem diferenciável em \[(0,0).
    • (i)\not\Longrightarrow (a) e (f)\not\Longrightarrow (a): o mesmo exemplo acima mostra que todas as derivadas direcionais ao longo de retas existem (e coincidem com \nabla f(0,0)\cdot \vec w), porém f não é diferenciável.
    • (a)\not\Longrightarrow (e): exemplo f(x,y)=h(x),\qquad h(x)=\begin{cases}x^{2}\sin(1/x),&x\neq0,\\[4pt]0,&x=0,\end{cases}então f\] é diferenciável em \((0,0) (porque h é diferenciável), mas \partial f/\partial x(x,y)=h'(x) não é contínua em 0. Logo diferenciabilidade não força continuidade das derivadas parciais.]

Resposta

(g)\Longleftrightarrow(h)\Longleftrightarrow(j)\Longleftrightarrow(a)
(a)\Longrightarrow(b)\Longleftrightarrow(d)
(a)\Longrightarrow\text{(c)}
(e)\Longleftrightarrow(k)\quad\text{e}\quad(e)\Longrightarrow(a)
(a)\Longrightarrow(i)\quad\text{e}\quad(a)\Longrightarrow(f)
\text{(c)}\not\Longrightarrow(a)\quad\text{(ex.: }f(x,y)=\tfrac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}\text{, }f(0,0)=0\text{)}
(i)\not\Longrightarrow(a),\\ (f)\not\Longrightarrow(a)\quad\text{(mesmo exemplo acima serve)}
(a)\not\Longrightarrow(e)\quad\text{(ex.: }f(x,y)=x^{2}\sin(1/x)\text{, com }f(0,y)=0\text{)}

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