ATENÇÃO: Todas as respostas devem ser devidamente justificadas ou por cálculos ou por explicações escritas se for 0 caso. Respostas sem as devidas justificativas não serão consideradas.
(2,0 pontos) 1 - Dada a curva x^2+x y-y^2=4, faça o que se pede nos itens a seguir:
b) (1,0 ponto) Determine a equação da reta tangente a y no ponto (2,2);

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva definida implicitamente por x^2 + x y - y^2 = 4 no ponto (2,2). O conteúdo envolve derivação implícita para encontrar y' (coeficiente angular) nesse ponto e depois usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Derivamos implicitamente ambos os lados da equação em relação a x. Para x^2 temos 2x. Para x y usamos a regra do produto, gerando x,y' + y. Para -y^2 aplicamos a regra da cadeia, obtendo -2y,y'. A derivada do constante 4 é zero. Assim:
2x + (x,y' + y) - 2y,y' = 0

Passo 3

Agrupando os termos com y' de um lado e os sem y' do outro:
2x + y + y'(x - 2y) = 0

Passo 4

Isolando y':
y'(x - 2y) = -(2x + y)
y' = -2x + yx - 2y

Passo 5

Substituímos o ponto (2,2) na expressão de y':
y'(2,2) = -2cdot 2 + 22 - 2cdot 2 = -62 - 4 = -6-2 = 3

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da reta tangente em (x0,y0)=(2,2) com coeficiente angular m=3:
y - y0 = m(x - x0)

Passo 7

Substituindo valores:
y - 2 = 3(x - 2)
e simplificando:
y = 3x - 6 + 2
y = 3x - 4

Resposta

y = 3x - 4

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