Considere a série
e estabeleça uma fórmula para a soma parcial
e determine a soma da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para analisar a série infinita
. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula para a soma parcial
e, depois, determinar a soma total dessa série. Para isso, vamos precisar entender sobre séries telescópicas e frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o termo geral da série:
. Quando temos uma fração com dois fatores no denominador, uma boa estratégia é decompor essa fração em frações mais simples, chamadas de frações parciais. Isso facilita a soma dos termos da série.
Passo 3
Vamos decompor
em duas frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados da equação:
Para o termo com
:
Para o termo constante:
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Passo 7
Agora que encontramos
e
, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 8
Com a decomposição feita, podemos reescrever a soma parcial
:
Passo 9
Observamos que, ao somar os termos de
, muitos deles se cancelam devido à natureza telescópica da série:
Após o cancelamento, restam apenas os primeiros e os últimos termos:
Passo 10
Agora, vamos encontrar a soma da série quando
tende ao infinito:
Como
e
tendem a zero quando
vai para o infinito, a soma total da série é:
Resposta
A soma da série é
.