Considere a série
sumn=1^infty 4(n+2)(n+4)
e estabeleça uma fórmula para a soma parcial Sn e determine a soma da série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para analisar a série infinita sumn=1^infty 4(n+2)(n+4). Nosso objetivo é encontrar uma fórmula para a soma parcial Sn e, depois, determinar a soma total dessa série. Para isso, vamos precisar entender sobre séries telescópicas e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o termo geral da série: 4(n+2)(n+4). Quando temos uma fração com dois fatores no denominador, uma boa estratégia é decompor essa fração em frações mais simples, chamadas de frações parciais. Isso facilita a soma dos termos da série.

Passo 3

Vamos decompor 4(n+2)(n+4) em duas frações parciais:
4(n+2)(n+4) = An+2 + Bn+4
Nosso objetivo é encontrar os valores de A e B.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por (n+2)(n+4) para eliminar os denominadores:
4 = A(n+4) + B(n+2)
Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes:
4 = An + 4A + Bn + 2B
4 = (A + B)n + (4A + 2B)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados da equação:
Para o termo com n:
A + B = 0
Para o termo constante:
4A + 2B = 4

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
Da primeira equação, A = -B. Substituindo na segunda equação:
4(-B) + 2B = 4
-4B + 2B = 4
-2B = 4 Rightarrow B = -2
Então, A = -B = 2.

Passo 7

Agora que encontramos A = 2 e B = -2, a decomposição em frações parciais fica:
4(n+2)(n+4) = 2n+2 - 2n+4

Passo 8

Com a decomposição feita, podemos reescrever a soma parcial Sn:
Sn = sumk=1^n ( 2k+2 - 2k+4 )

Passo 9

Observamos que, ao somar os termos de Sn, muitos deles se cancelam devido à natureza telescópica da série:
Sn = ( 23 - 25 ) + ( 24 - 26 ) + cdots + ( 2n+2 - 2n+4 )
Após o cancelamento, restam apenas os primeiros e os últimos termos:
Sn = 23 + 24 - 2n+3 - 2n+4

Passo 10

Agora, vamos encontrar a soma da série quando n tende ao infinito:
limn to infty Sn = 23 + 24 - limn to infty ( 2n+3 + 2n+4 )
Como 2n+3 e 2n+4 tendem a zero quando n vai para o infinito, a soma total da série é:
limn to infty Sn = 23 + 24 = 23 + 12 = 76

Resposta

A soma da série é 76.

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