Verifique se a sequência converge ou diverge e justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por $ a_{n} = \left(\frac{n+3}{n+2}\right)^{n} $ e precisa descobrir se ela converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico quando $ n $ cresce muito) ou diverge (se não se aproxima de nenhum número específico). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites de sequências e uma propriedade importante envolvendo a constante matemática $ e $.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da potência para facilitar o cálculo do limite. Observando o termo $ \frac{n+3}{n+2} $, podemos dividir o numerador e o denominador por $ n $:
Então, a sequência fica:
Passo 3
Agora, para calcular o limite dessa sequência quando $ n $ tende ao infinito, vamos usar uma propriedade conhecida dos limites:
Isso significa que quando temos algo na forma $ \left(1 + \frac{k}{n}\right)^{n} $, o limite é $ e $ elevado a $ k $.
Passo 4
Vamos aplicar essa propriedade à nossa sequência. Primeiro, vamos escrever a sequência de uma forma que se encaixe na propriedade:
Observando que $ \left(1 + \frac{3}{n}\right)^{n} $ se aproxima de $ e^{3} $ e $ \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n} $ se aproxima de $ e^{2} $, temos:
Passo 5
Portanto, o limite da sequência $ a_{n} $ quando $ n $ tende ao infinito é $ e $. Como a sequência se aproxima de um número específico $ e $, dizemos que ela converge.
Resposta
A sequência $ a_{n} = \left(\frac{n+3}{n+2}\right)^{n} $ converge para $ e $.