(Vale: 1,0) Afirmação: A série
é convergente e tem soma
.
Calcule a soma da série
Calcule a soma da série
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma série infinita e pede para calcular a sua soma. A matéria envolvida aqui é séries infinitas, especificamente séries alternadas e logaritmos naturais. Para resolver, vamos precisar entender o padrão da série dada e usar a fórmula fornecida:
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série que precisamos somar:
Aqui, percebemos que os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo, o que sugere que podemos relacionar essa série com a série alternada da fórmula fornecida.
Passo 3
Agora, vamos tentar identificar um padrão nos coeficientes dos termos. Observando os numeradores:
- Primeiro termo: 2
- Segundo termo: 2
- Terceiro termo: 8/3
- Quarto termo: 4
Parece que os numeradores estão seguindo uma certa progressão. No entanto, para simplificar, vamos focar nos denominadores e nos sinais alternados, já que isso se alinha com a fórmula que temos.
Passo 4
Vamos tentar reescrever a série em termos de uma expressão geral. Observando os denominadores, notamos que cada termo tem
, onde
varia de 1 em diante. Então, podemos expressar a série como:
Onde
representa os numeradores ajustados. Nossa meta é adaptar essa expressão para que se encaixe na fórmula
.
Passo 5
Para que nossa série se pareça com
, precisamos que:
Isso sugere que
e que
, mas ao olhar para os numeradores reais, vemos que isso não se encaixa perfeitamente. Portanto, precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 6
Outra maneira é fatorar os termos para simplificar. Observando a série original:
Podemos reescrever isso como:
Isso ajuda a visualizar melhor os termos e facilita a aplicação da fórmula.
Passo 7
Vamos considerar substituições para alinhar com a fórmula dada. Se definirmos
, então a fórmula se torna:
Isso nos dá uma parte da nossa série original. Porém, na nossa série, alguns termos têm coeficientes diferentes, então precisamos ajustar isso.
Passo 8
Percebemos que na nossa série, há uma diferença nos coeficientes que podem ser representados como múltiplos da série padrão. Especificamente, podemos decompô-la em múltiplos de séries conhecidas:
Isso porque ajustamos os termos para que se alinhem com a fórmula original.
Passo 9
Finalmente, calculamos o valor numérico usando a expressão encontrada:
Isso nos dá a soma da série original.
Resposta
A soma da série é igual a
.