ATENÇÃO: Todas as respostas devem ser devidamente justificadas ou por cálculos ou por explicações escritas se for 0 caso. Respostas sem as devidas justificativas não serão consideradas.
(2,0 pontos) 1 - Dada a curva x^2+x y-y^2=4, faça o que se pede nos itens a seguir:
c) (0,5 ponto) Determine a equação da reta normal a y no ponto (2,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta normal à curva definida por x^2+x y - y^2=4 no ponto (2,2). Vamos usar derivação implícita para achar a inclinação da tangente e então obter a inclinação da normal.

Passo 2

Derivando implicitamente em relação a x:
ddx(x^2) + ddx(x y) - ddx(y^2) = ddx(4)
Isso dá
2x + (x dydx + y) - 2y dydx = 0
Agrupando os termos com dydx:
(x - 2y) dydx + 2x + y = 0
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dydx = -2x - yx - 2y

Passo 3

Avaliaremos a derivada no ponto (2,2):
dydx|(2,2) = -2cdot2 - 22 - 2cdot2 = -4 - 22 - 4 = -6-2 = 3
Portanto, a inclinação da reta tangente é mt=3.

Passo 4

A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Assim:
mn = -1mt = -13

Passo 5

Usando a forma-ponto da reta com o ponto (2,2) e mn=-tfrac13, temos:
y - 2 = -13(x - 2)

Passo 6

Podemos também reescrever em forma explícita:
y = -13x + 83

Resposta

A equação da reta normal é y - 2 = -tfrac13(x - 2), que equivale a y = -tfrac13x + tfrac83.

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