Determine o periodo, a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas abaixo:
f: R R dada por f(x)=1+2 cdot sen(x2-pi6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir três coisas sobre a função $ f(x) = 1 + 2 \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) $:
  1. Período da função.
  2. Imagem da função (o intervalo de valores que $ f(x) $ pode assumir).
  3. Fazer o gráfico de um período completo dessa função.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos sobre funções seno, como o período, amplitude, e deslocamentos. Não se preocupa se esses termos parecem complicados agora, vou explicar à medida que avançamos!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o período da função. O período de uma função seno é o comprimento do intervalo no eixo $ x $ no qual a função completa um ciclo completo.
A fórmula geral para o período de $ \operatorname{sen}(kx + \phi) $ é:
x
No nosso caso, a função dentro do seno é $ \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} $. Assim, podemos reescrever isso como $ \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6}\right) $. Aqui, $ k = \frac{1}{2} $.
Aplicando a fórmula:
sen(kx + phi)
Então, o período da função é $ 4\pi $.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os valores possíveis que $ f(x) $ pode assumir.
A função original é:
f(x)
Vamos analisar os componentes:
  1. $ \operatorname{sen}(\theta) $ sempre varia entre -1 e 1.
  2. Multiplicando pelo 2, temos que $ 2 \cdot \operatorname{sen}(\theta) $ varia entre -2 e 2.
  3. Adicionando 1, todo o gráfico é deslocado verticalmente para cima em 1 unidade.
Então, a imagem da função será:
f(x) = 1 + 2 cdot sen(x2 - pi6) í
sen(theta) á
Portanto, a imagem de $ f(x) $ é o intervalo 2 cdot sen(theta) .

Passo 4

Por fim, vamos fazer o gráfico de um período completo da função $ f(x) $.
Sabemos que:
  • O período é $ 4\pi $, então vamos desenhar o gráfico de $ x = 0 $ até $ x = 4\pi $.
  • A amplitude é 2 (o coeficiente de $ \operatorname{sen} $).
  • Há um deslocamento vertical de 1 unidade para cima.
  • O termo $ -\frac{\pi}{6} $ dentro do seno indica um deslocamento horizontal (fase) de $ \frac{\pi}{6} $ para a direita.
Passos para desenhar:
  1. Eixo Vertical (y): Vai de -1 a 3.
  2. Eixo Horizontal (x): Marque de 0 a $ 4\pi $.
  3. Centro da Senoide: A linha média será $ y = 1 $.
  4. Amplitude: A função oscila 2 unidades acima e abaixo da linha média.
  5. Início do Ciclo: Devido ao deslocamento de fase, o ponto inicial não começa exatamente em 0, mas um pouco deslocado.
Pontos Chave:
  • Ponto inicial: $ x = \frac{\pi}{6} $ (devido ao deslocamento).
  • Ponto máximo: $ y = 3 $ quando o seno é 1.
  • Ponto mínimo: $ y = -1 $ quando o seno é -1.
  • Ponto médio retorna a $ y = 1 $ ao completar o ciclo.
Desenhando esses pontos e conectando com uma curva suave em forma de seno, teremos o gráfico de um período completo da função.

Resposta

  • Período: 4pi
  • Imagem: [-1, 3]
  • Gráfico: [Gráfico desenhado conforme descrito no Passo 4]

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