Determine o periodo, a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas abaixo:
dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir três coisas sobre a função $ f(x) = 1 + 2 \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) $:
- Período da função.
- Imagem da função (o intervalo de valores que $ f(x) $ pode assumir).
- Fazer o gráfico de um período completo dessa função.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos sobre funções seno, como o período, amplitude, e deslocamentos. Não se preocupa se esses termos parecem complicados agora, vou explicar à medida que avançamos!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o período da função. O período de uma função seno é o comprimento do intervalo no eixo $ x $ no qual a função completa um ciclo completo.
A fórmula geral para o período de $ \operatorname{sen}(kx + \phi) $ é:
No nosso caso, a função dentro do seno é $ \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} $. Assim, podemos reescrever isso como $ \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6}\right) $. Aqui, $ k = \frac{1}{2} $.
Aplicando a fórmula:
Então, o período da função é $ 4\pi $.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os valores possíveis que $ f(x) $ pode assumir.
A função original é:
Vamos analisar os componentes:
- $ \operatorname{sen}(\theta) $ sempre varia entre -1 e 1.
- Multiplicando pelo 2, temos que $ 2 \cdot \operatorname{sen}(\theta) $ varia entre -2 e 2.
- Adicionando 1, todo o gráfico é deslocado verticalmente para cima em 1 unidade.
Então, a imagem da função será:
Portanto, a imagem de $ f(x) $ é o intervalo
.
Passo 4
Por fim, vamos fazer o gráfico de um período completo da função $ f(x) $.
Sabemos que:
- O período é $ 4\pi $, então vamos desenhar o gráfico de $ x = 0 $ até $ x = 4\pi $.
- A amplitude é 2 (o coeficiente de $ \operatorname{sen} $).
- Há um deslocamento vertical de 1 unidade para cima.
- O termo $ -\frac{\pi}{6} $ dentro do seno indica um deslocamento horizontal (fase) de $ \frac{\pi}{6} $ para a direita.
Passos para desenhar:
- Eixo Vertical (y): Vai de -1 a 3.
- Eixo Horizontal (x): Marque de 0 a $ 4\pi $.
- Centro da Senoide: A linha média será $ y = 1 $.
- Amplitude: A função oscila 2 unidades acima e abaixo da linha média.
- Início do Ciclo: Devido ao deslocamento de fase, o ponto inicial não começa exatamente em 0, mas um pouco deslocado.
Pontos Chave:
- Ponto inicial: $ x = \frac{\pi}{6} $ (devido ao deslocamento).
- Ponto máximo: $ y = 3 $ quando o seno é 1.
- Ponto mínimo: $ y = -1 $ quando o seno é -1.
- Ponto médio retorna a $ y = 1 $ ao completar o ciclo.
Desenhando esses pontos e conectando com uma curva suave em forma de seno, teremos o gráfico de um período completo da função.
Resposta
- Período:
- Imagem:
- Gráfico: [Gráfico desenhado conforme descrito no Passo 4]