(2,0 pontos) 5 - Suponha que a área R da pupila do olho humano reagindo a um estimulo luminoso de intensidade x é modelada por R=40+24 x^21+4 x^2. Sabendo que a sensibilidade ao estimulo luminoso S é definida por S=d Rd x, determine:
(1,0 ponto) a) A expressão de S.

Passo 1

O enunciado dá a área da pupila em função da intensidade luminosa x como R(x)= 40+24x^21+4x^2 e pede a sensibilidade S= dRdx. O conteúdo é derivação de uma função quociente e vamos precisar da regra do quociente.

Passo 2

A regra do quociente diz que, para duas funções u(x) e v(x), ddxl(uvr)=u'v - uv'v^2 Identificamos u(x)=40+24x^{2} e v(x)=1+4x^{2}. Calculamos as derivadas: u'(x)=48x e v'(x)=8x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente temos: S=dRdx=48x(1+4x^2) - (40+24x^2)cdot8x(1+4x^2)^2 Agora simplificamos o numerador: 48x(1+4x{2})=48x+192x{3} e (40+24x{2})8x=320x+192x{3}, então o numerador fica (48x+192x^{3}) - (320x+192x^{3}) = -272x. Portanto S= -272x(1+4x^2)^2.

Resposta

S(x)= -\frac{272x}{(1+4x{2}){2}}

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