Um aterro com teor de umidade igual a 15,8 \%, com volume de 30 \mathrm{~m}^{3} deverá ser compactado com umidade de 18,5 \% de modo a garantir as características de projeto. Calcule o volume de água a ser acrescentado ao terreno para que esta condição se verifique. Dados: \gamma n=17,8 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} e \gamma w=10,0 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Teor de umidade inicial: w_1 = 15{,}8\% = 0{,}158.
  • Teor de umidade desejado: w_2 = 18{,}5\% = 0{,}185.
  • Volume do aterro: V = 30\\ \mathrm{m}^3.
  • Peso unitário (peso total por volume) do material no estado atual: \gamma_n = 17{,}8\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.
  • Peso unitário da água: \gamma_w = 10{,}0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.
O que se pede: o volume de água a ser acrescentado ao terreno, isto é, V_{\text{água a acrescentar}}á em \mathrm{m}^3.

Passo 2

Definir variáveis e relações físicas que vamos usar (explicando cada uma).
  • Seja W_d o peso das partículas sólidas secas contidas no volume V (unidade: \mathrm{kN}).
  • Seja W_w o peso da água presente (unidade: \mathrm{kN}).
  • O teor de umidade w é definido por
w=\frac{W_w}{W_d}.
  • O peso total do solo (água + sólidos) no volume V é
W = W_d + W_w = W_d(1+w).
  • Como foi dado o peso unitário total \gamma_n, temos
W = \gamma_n V.
Portanto, isolando W_d,
W_d=\frac{\gamma_n V}{1+w_1}.
Agora calculamos numericamente:
W=\gamma_n V = 17{,}8\times 30 = 534\\ \mathrm{kN}.
W_d=\frac{534}{1+0{,}158}=\frac{534}{1{,}158}=461{,}13986\\ \mathrm{kN}\\ (\text{aprox.}).

Passo 3

Calcular o peso de água que precisa ser acrescentado.
A variação necessária no peso da água é
\Delta W_w = W_d\,(w_2-w_1).
Substituindo os valores:
w_2-w_1=0{,}185-0{,}158=0{,}027.
\Delta W_w = 461{,}13986\times 0{,}027 = 12{,}45078\\ \mathrm{kN}\\ (\text{aprox.}).
Expliquei: multiplicamos o peso seco pelas diferenças dos teores porque o teor é razão entre peso da água e peso seco.

Passo 4

Converter o peso de água a acrescentar em volume de água.
Como o peso unitário da água é \gamma_w, o volume de água a acrescentar é
V_{\text{água}}=\frac{\Delta W_w}{\gamma_w}.á
Substituindo:
V_{\text{água}}=\frac{12{,}45078}{10{,}0}=1{,}245078\\ \mathrm{m}^3.á

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida (sanity check).
  • O valor obtido corresponde a pouco mais de 1{,}2\\ \mathrm{m}^3 de água para um volume de solo de 30\\ \mathrm{m}^3. Isso é razoável: aumentar o teor de 15{,}8\% para 18{,}5\% significa acrescentar 2{,}7\% (em peso seco) de água; multiplicando o peso seco (~ 461\\ \mathrm{kN}) por 0{,}027 gera ~ 12{,}45\\ \mathrm{kN}, ou ~ 1{,}245\\ \mathrm{m}^3 de água, consistente com os cálculos anteriores.

Resposta

1{,}245\\ \mathrm{m}^3

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