Um solo apresenta índice de vazios de 0,75 e teor de umidade de 21,5 \%. Considerando a massa específica relativa dos grãos sólidos como 2,62 , determine:
a) Peso específico úmido \left(\mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}\right);
b) Peso específico aparente seco \left(\mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}\right);
c) Grau de saturação (%).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • Índice de vazios: e=0,75.
  • Teor de umidade: 21,5\%, ou seja w=0,215.
  • Massa específica relativa dos grãos (gravidade específica): G_s=2,62.
O enunciado pede:
(a) Peso específico úmido em \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}.
(b) Peso específico aparente seco em \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}.
(c) Grau de saturação em porcentagem (%).

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar — explicação didática.
  • Escolha conveniente: trabalhar por unidade de volume total V=1\\ \mathrm{m}^3. Isso facilita porque todas as grandezas por metro cúbico aparecem diretamente.
  • Relação entre índices de vazios e volumes:
    e=\frac{V_v}{V_s},
    onde V_v é o volume de vazios (volume ocupado por água + ar) e V_s é o volume de sólidos. Para V=1\\ \mathrm{m}^3 temos
    V_s=\frac{V}{1+e}=\frac{1}{1+e}.
    (porque V=V_s+V_v=V_s(1+e).)
  • Massa dos sólidos M_s: usando a massa específica relativa G_s e a massa específica da água \rho_w (adotamos \rho_w=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3),
    M_s=G_s\,\rho_w\,V_s.
    Explicação: G_s=\dfrac{\rho_s}{\rho_w}, então \rho_s=G_s\rho_w e massa = \rho_s V_s.
  • Massa de água M_w: definida pelo teor de umidade w (em forma decimal),
    w=\frac{M_w}{M_s}\quad\Rightarrow\quad M_w=w\,M_s.
  • Massa total M é M_s+M_w=M_s(1+w).
  • Densidade (massa por volume) total \rho=\dfrac{M}{V}. Como vamos medir o peso específico (peso por volume), usamos o peso específico da água \gamma_w=\rho_w g. Em geotecnia usa-se \gamma_w=9,81\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}. Então o peso específico úmido é
    \gamma=\gamma_w\frac{G_s(1+w)}{1+e}.
    Justificativa curta da fórmula: substituir M_s e M_w com V_s=1/(1+e) e dividir por V=1.
  • Peso específico seco (aparecido seco) \gamma_d: é o peso por volume considerando apenas a massa seca (ou seja dividindo a massa total sem a água pela mesma expressão de volume). Relaciona-se por
    \gamma_d=\frac{\gamma}{1+w}=\gamma_w\frac{G_s}{1+e}.
  • Grau de saturação S: é a razão entre volume de água V_w e volume de vazios V_v:
    S=\frac{V_w}{V_v}.
    Usando V_w=M_w/\rho_w e as expressões anteriores resulta em
    S=\frac{w\,G_s}{e}.
    (Aqui w em decimal; para obter porcentagem multiplica-se por 100\%.)

Passo 3

Cálculo do peso específico úmido \gamma.
Vamos aplicar a fórmula
\gamma=\gamma_w\frac{G_s(1+w)}{1+e}.
Substituindo os valores (usar \gamma_w=9,81\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}):
\gamma=9,81\cdot\frac{2,62\,(1+0,215)}{1+0,75}.
Calcule passo a passo:
  • 1+0,215=1,215.
  • 1+0,75=1,75.
  • 2,62\cdot1,215=3,1833 (multiplicação direta).
  • \dfrac{3,1833}{1,75}=1,818171\dots.
  • \gamma=9,81\cdot1,818171\dots=17,8465\dots\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}.
Arredondando para duas casas decimais: \gamma\approx17,85\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Cálculo do peso específico aparente seco \gamma_d.
Usamos
\gamma_d=\gamma_w\frac{G_s}{1+e}.
Substituindo:
\gamma_d=9,81\cdot\frac{2,62}{1,75}.
Passo a passo:
  • \dfrac{2,62}{1,75}=1,497142857.
  • \gamma_d=9,81\cdot1,497142857=14,6875\dots\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}.
Arredondando para duas casas decimais: \gamma_d\approx14,69\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}.
Verificação rápida (consistência): \gamma=\gamma_d(1+w)=14,6875\cdot1,215=17,8465, que bate com o cálculo anterior (boa sinalização de que não houve erro).

Passo 5

Cálculo do grau de saturação S.
Usamos a fórmula deduzida:
S=\frac{w\,G_s}{e}.
Substituindo:
S=\frac{0,215\cdot2,62}{0,75}.
Cálculo:
  • 0,215\cdot2,62=0,5633.
  • \dfrac{0,5633}{0,75}=0,7510666\dots.
Convertendo para porcentagem:
S\approx0,7510666\dots\times100\%=75,10666\%\approx75,11\%.
Interpretação curta: o solo está parcialmente saturado (cerca de 75\% dos vazios estão preenchidos com água).

Passo 6

Resumo numérico com arredondamentos apropriados (duas casas decimais para os pesos específicos e duas casas decimais para o grau de saturação):
  • Peso específico úmido \gamma\approx17,85\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}.
  • Peso específico aparente seco \gamma_d\approx14,69\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}.
  • Grau de saturação S\approx75,11\%.

Resposta

\gamma=17,85\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}
\gamma_d=14,69\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}
S=75,11\%

Exercícios relacionados