Para atingir a lata, uma arma aponta diretamente para ela. No mesmo instante do disparo, a lata é solta e inicia um movimento de queda livre. Mostre que a lata será atingida, qualquer que seja a velocidade inicial da bala, desde que seja suficiente para cobrir a distância horizontal entre a arma e a linha de queda da lata, antes da lata atingir o solo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: você tem uma arma que mira direto na lata, ambas à mesma altura . No instante em que a bala sai da arma (com velocidade horizontal inicial ), a lata é solta e começa a cair. A gente quer mostrar que a bala sempre vai pegar a lata no ar, não importa , desde que ela alcance a distância horizontal até a trajetória vertical da lata antes que ela chegue ao chão.
Conteúdo usado: cinemática bidimensional (movimento com aceleração constante), separação em componentes horizontal e vertical, queda livre.

Passo 2

Vamos escrever as equações de movimento para cada corpo.
  1. Para a lata (queda livre):
    • Velocidade inicial vertical: 0
    • Aceleração vertical: ylata(t) ;=; H ;-; 12,g,t^2
    • Posição vertical em função do tempo xbala(t) ;=; v0,t : ybala(t) ;=; H ;-; 12,g,t^2
  2. Para a bala (movimento plano):
    • Componente horizontal: velocidade constante
    • Componente vertical: mesma situação da lata, já que ao sair o projétil não tem velocidade vertical inicial e sofre a mesma gravidade:

Passo 3

Repara que t^* ;=; Lv0, e ybala(t^*) ;=; H - tfrac12,g,(t^*)^2 = H - 12,gl(tfracLv0r)^2, são idênticas para todo . Isso significa que, qualquer que seja o instante que a bala estiver na mesma da lata, elas estarão também na mesma .
Para a bala alcançar a “linha vertical” onde a lata cai (distância horizontal entre arma e essa linha), o tempo é
No instante , a bala estará em
e a lata, idem.

Passo 4

Só precisamos garantir que esse tqueda = raiz2Hg aconteça antes da lata chegar ao chão. O tempo de queda total da lata é
Lv0 ;<=; raiz2Hg,
Se , ou seja
então a bala atinge a lata no ar.

Resposta

Como a bala e a lata têm exatamente a mesma posição vertical em todo instante, a bala sempre pega a lata antes dela atingir o chão, desde que sua velocidade seja suficiente para percorrer em um tempo menor que .

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