Um atirador acerta na mosca o alvo,
dos tiros.
Qual a probabilidade de ele ter de dar 10 tiros para acertar 6 vezes na mosca?
Qual a probabilidade de ele ter de dar 10 tiros para acertar 6 vezes na mosca?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Probabilidade de acertar a mosca em um tiro:
. - Pergunta: qual a probabilidade de o atirador precisar exatamente de 10 tiros para obter 6 acertos?
Passo 2
Vamos traduzir em símbolos (isso ajuda a pensar claro).
- Seja
a probabilidade de sucesso (acertar) num tiro. Então . - A probabilidade de fracasso (errar) num tiro é
. Então .
O evento “precisar exatamente de 10 tiros para obter 6 acertos” significa:
- Nos primeiros 9 tiros houve exatamente 5 acertos (e, portanto, 4 erros),
- e o tiro 10 é um acerto.
Passo 3
Como queremos exatamente 5 acertos entre os primeiros 9 tiros, e a ordem desses 9 tiros importa só em quantos acertos aparecem (não qual sequência específica), usamos uma contagem combinatória: o número de maneiras de escolher quais 5 dentre os 9 tiros foram acertos é dado por
.
A probabilidade de qualquer configuração com exatamente 5 acertos e 4 erros (nessa ordem específica) entre os 9 primeiros é
Depois ainda precisamos que o 10.º tiro seja sucesso, o que multiplica por mais um fator
. Logo a probabilidade desejada é
Passo 4
Calcular a combinação
. Usando a fórmula
ou simplificando diretamente:
Passo 5
Calcular as potências com
e
:
Passo 6
Multiplicar tudo:
Em porcentagem, isso é aproximadamente
.]