Um atirador acerta na mosca o alvo, 20 \% dos tiros.
Qual a probabilidade de ele ter de dar 10 tiros para acertar 6 vezes na mosca?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Probabilidade de acertar a mosca em um tiro: 20\%.
  • Pergunta: qual a probabilidade de o atirador precisar exatamente de 10 tiros para obter 6 acertos?

Passo 2

Vamos traduzir em símbolos (isso ajuda a pensar claro).
  • Seja p a probabilidade de sucesso (acertar) num tiro. Então p=0,2.
  • A probabilidade de fracasso (errar) num tiro é 1-p. Então 1-p=0,8.
O evento “precisar exatamente de 10 tiros para obter 6 acertos” significa:
  • Nos primeiros 9 tiros houve exatamente 5 acertos (e, portanto, 4 erros),
  • e o tiro 10 é um acerto.

Passo 3

Como queremos exatamente 5 acertos entre os primeiros 9 tiros, e a ordem desses 9 tiros importa só em quantos acertos aparecem (não qual sequência específica), usamos uma contagem combinatória: o número de maneiras de escolher quais 5 dentre os 9 tiros foram acertos é dado por \binom{9}{5}.
A probabilidade de qualquer configuração com exatamente 5 acertos e 4 erros (nessa ordem específica) entre os 9 primeiros é
p^{5}(1-p)^{4}.
Depois ainda precisamos que o 10.º tiro seja sucesso, o que multiplica por mais um fator p. Logo a probabilidade desejada é
\binom{9}{5}\,p^{5}(1-p)^{4}\cdot p=\binom{9}{5}\,p^{6}(1-p)^{4}.

Passo 4

Calcular a combinação \binom{9}{5}. Usando a fórmula \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} ou simplificando diretamente:
\binom{9}{5}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=126.

Passo 5

Calcular as potências com p=0,2 e 1-p=0,8:
p^{6}=(0,2)^{6}=0,2^{6}=0,000064,
(1-p)^{4}=(0,8)^{4}=0,8^{2}\cdot0,8^{2}=0,64\cdot0,64=0,4096.

Passo 6

Multiplicar tudo:
\begin{aligned} \Pr(\text{6º acerto no 10º tiro}) &=126\cdot 0,000064\cdot 0,4096\\[4pt] &=0,008064\cdot 0,4096\\[4pt] &=0,0033030144\approx 0,003303. \end{aligned}ºº
Em porcentagem, isso é aproximadamente 0,3303\%.]

Resposta

0,0033030144
0,3303\%

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