Dois concorrentes, Mateus e Lucas, disputam um projeto durante 4 entrevistas para uma determinada empresa de seguros. A probabilidade de Mateus se sair melhor numa entrevista é 0,7 e não há possibilidade dos dois se saírem iguais. Qual é a probabilidade de Mateus ganhar o projeto?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • 4 entrevistas.
  • Em cada entrevista a probabilidade de Mateus se sair melhor é 0,7.
  • Não há possibilidade de empate numa entrevista, portanto a probabilidade de Lucas se sair melhor em uma entrevista é 0,3 (isto é, 1-0,7).
  • Pergunta: Qual é a probabilidade de Mateus ganhar o projeto?
Observação importante (tirada do enunciado): “ganhar o projeto” significa obter mais entrevistas vencidas que o outro ao final das 4 entrevistas.

Passo 2

Escolha do método e definição da variável aleatória.
  • Cada entrevista tem só dois resultados (Mateus vence ou Lucas vence) e a probabilidade de Mateus vencer é sempre a mesma ( 0,7). Isso caracteriza uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes (um jeito elegante de dizer: repetições com “sucesso” ou “fracasso” com mesma probabilidade).
  • Vamos contar o número de entrevistas em que Mateus vence. Defina a variável aleatória
X = \text{o número de entrevistas (em 4) que Mateus vence.}ú
  • Os possíveis valores de X são 0,1,2,3,4.
  • Mateus ganha o projeto quando ele vence mais entrevistas que Lucas. Com 4 entrevistas, isso acontece se e somente se X=3 ou X=4.

Passo 3

Fórmula para calcular cada probabilidade (introdução à distribuição binomial).
  • A distribuição que descreve X é a distribuição binomial com parâmetros n=4 e p=0,7. A fórmula geral é:
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k}.
  • Aqui:
    • n é o número de ensaios (aqui n=4),
    • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui p=0,7),
    • k é o número de sucessos que se quer probabilidade,
    • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais k ensaios foram sucessos).
Agora vamos aplicar essa fórmula para k=3 e k=4.

Passo 4

Cálculo de P(X=3).
Usando a fórmula com n=4, p=0,7 e k=3:
P(X=3)=\binom{4}{3}\,0{,}7^{3}\,0{,}3^{1}.
Calcule passo a passo:
\binom{4}{3}=4,
0{,}7^{3}=0{,}343,
0{,}3^{1}=0{,}3.
Multiplicando:
P(X=3)=4\cdot 0{,}343\cdot 0{,}3 = 0{,}4116.

Passo 5

Cálculo de P(X=4).
Usando a fórmula com k=4:
P(X=4)=\binom{4}{4}\,0{,}7^{4}\,0{,}3^{0}.
Passo a passo:
\binom{4}{4}=1,
0{,}7^{4}=0{,}2401,
0{,}3^{0}=1.
Logo
P(X=4)=1\cdot 0{,}2401\cdot 1 = 0{,}2401.

Passo 6

Somar as probabilidades favoráveis (Mateus vence com 3 ou 4 vitórias).
P(\text{Mateus ganha o projeto})=P(X=3)+P(X=4)=0{,}4116+0{,}2401=0{,}6517.

Passo 7

Interpretação rápida e checagem intuitiva.
  • O valor 0{,}6517 significa aproximadamente 65{,}17\%. Faz sentido: como Mateus tem vantagem em cada entrevista ( 70\% de chance), a probabilidade dele sair vencedor no total de 4 entrevistas é maior que 50\%, mas não muito próxima de 100\% por causa da variação em poucas entrevistas.

Resposta

0{,}6517

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