Dois concorrentes, Mateus e Lucas, disputam um projeto durante 4 entrevistas para uma determinada empresa de seguros. A probabilidade de Mateus se sair melhor numa entrevista é 0,7 e não há possibilidade dos dois se saírem iguais. Qual é a probabilidade de Mateus ganhar o projeto?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
- Há
entrevistas. - Em cada entrevista a probabilidade de Mateus se sair melhor é
. - Não há possibilidade de empate numa entrevista, portanto a probabilidade de Lucas se sair melhor em uma entrevista é
(isto é, ). - Pergunta: Qual é a probabilidade de Mateus ganhar o projeto?
Observação importante (tirada do enunciado): “ganhar o projeto” significa obter mais entrevistas vencidas que o outro ao final das
entrevistas.
Passo 2
Escolha do método e definição da variável aleatória.
- Cada entrevista tem só dois resultados (Mateus vence ou Lucas vence) e a probabilidade de Mateus vencer é sempre a mesma (
). Isso caracteriza uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes (um jeito elegante de dizer: repetições com “sucesso” ou “fracasso” com mesma probabilidade). - Vamos contar o número de entrevistas em que Mateus vence. Defina a variável aleatória
- Os possíveis valores de
são . - Mateus ganha o projeto quando ele vence mais entrevistas que Lucas. Com
entrevistas, isso acontece se e somente se ou .
Passo 3
Fórmula para calcular cada probabilidade (introdução à distribuição binomial).
- A distribuição que descreve
é a distribuição binomial com parâmetros e . A fórmula geral é:
- Aqui:
-
é o número de ensaios (aqui ), -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui ), -
é o número de sucessos que se quer probabilidade, -
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais ensaios foram sucessos).
-
Agora vamos aplicar essa fórmula para
e
.
Passo 4
Cálculo de
.
Usando a fórmula com
,
e
:
Calcule passo a passo:
Multiplicando:
Passo 5
Cálculo de
.
Usando a fórmula com
:
Passo a passo:
Logo
Passo 6
Somar as probabilidades favoráveis (Mateus vence com
ou
vitórias).
Passo 7
Interpretação rápida e checagem intuitiva.
- O valor
significa aproximadamente . Faz sentido: como Mateus tem vantagem em cada entrevista ( de chance), a probabilidade dele sair vencedor no total de entrevistas é maior que , mas não muito próxima de por causa da variação em poucas entrevistas.