A fda de uma v.a. X é dada por
F_{X}(x)= \begin{cases}0 & x<0 \\\ \frac{1}{32} & 0 \leq x<1 \\\ \frac{6}{32} & 1 \leq x<2 \\\ \frac{16}{32} & 2 \leq x<3 \\\ \frac{26}{32} & 3 \leq x<4 \\\ \frac{31}{32} & 4 \leq x<5 \\\\ 1 & x \geq 5\end{cases}
Encontre sua função de probabilidade.

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada F_X(x)\) por partes: \[F_{X}(x)= \begin{cases}0 & x<0 \\\ \tfrac{1}{32} & 0 \leq x<1 \\\ \tfrac{6}{32} & 1 \leq x<2 \\\ \tfrac{16}{32} & 2 \leq x<3 \\\ \tfrac{26}{32} & 3 \leq x<4 \\\ \tfrac{31}{32} & 4 \leq x<5 \\\\ 1 & x \geq 5\end{cases}
A pergunta é: encontrar a função de probabilidade (pmf) de X\], ou seja, calcular \(p_X(x)=P(X=x) para todos os x. Vou usar apenas as informações fornecidas acima.

Passo 2

Lembrete prático (como extrair a pmf de uma fda para variáveis discretas): quando X é discreta e tem massa em pontos x_k, a probabilidade pontual é o tamanho do salto da fda em x_k. Formalmente,
p_X(x)=P(X=x)=F_X(x)-\lim_{t\to x^-}F_X(t).
Isso significa: para cada ponto x onde F_X muda de valor, calcule a diferença entre o valor de F_X no ponto (o valor à direita) e o valor imediatamente à esquerda (o limite pela esquerda). Se não há salto em x, então p_X(x)=0.

Passo 3

Calcular p_X(0).
Para x<0 temos F_X(x)=0. Para 0\le x<1 temos F_X(x)=\tfrac{1}{32}. Assim o salto em x=0 é
p_X(0)=F_X(0)-\lim_{t\to0^-}F_X(t)=\tfrac{1}{32}-0=\tfrac{1}{32}.

Passo 4

Calcular p_X(1).
Para 0\le x<1 temos F_X(x)=\tfrac{1}{32}. Para 1\le x<2 temos F_X(x)=\tfrac{6}{32}. Então o salto em x=1 é
p_X(1)=F_X(1)-\lim_{t\to1^-}F_X(t)=\tfrac{6}{32}-\tfrac{1}{32}=\tfrac{5}{32}.

Passo 5

Calcular p_X(2).
Para 1\le x<2 temos F_X(x)=\tfrac{6}{32}. Para 2\le x<3 temos F_X(x)=\tfrac{16}{32}. Então
p_X(2)=F_X(2)-\lim_{t\to2^-}F_X(t)=\tfrac{16}{32}-\tfrac{6}{32}=\tfrac{10}{32}=\tfrac{5}{16}.

Passo 6

Calcular p_X(3).
Para 2\le x<3 temos F_X(x)=\tfrac{16}{32}. Para 3\le x<4 temos F_X(x)=\tfrac{26}{32}. Então
p_X(3)=F_X(3)-\lim_{t\to3^-}F_X(t)=\tfrac{26}{32}-\tfrac{16}{32}=\tfrac{10}{32}=\tfrac{5}{16}.

Passo 7

Calcular p_X(4).
Para 3\le x<4 temos F_X(x)=\tfrac{26}{32}. Para 4\le x<5 temos F_X(x)=\tfrac{31}{32}. Então
p_X(4)=F_X(4)-\lim_{t\to4^-}F_X(t)=\tfrac{31}{32}-\tfrac{26}{32}=\tfrac{5}{32}.

Passo 8

Calcular p_X(5).
Para 4\le x<5 temos F_X(x)=\tfrac{31}{32}. Para x\ge5 temos F_X(x)=1. Então
p_X(5)=F_X(5)-\lim_{t\to5^-}F_X(t)=1-\tfrac{31}{32}=\tfrac{1}{32}.

Passo 9

Verificação rápida: somando todas as probabilidades obtidas
\tfrac{1}{32}+\tfrac{5}{32}+\tfrac{10}{32}+\tfrac{10}{32}+\tfrac{5}{32}+\tfrac{1}{32}=\tfrac{32}{32}=1,
então está consistente. Para qualquer x que não seja 0,1,2,3,4,5 temos p_X(x)=0.

Resposta

p_X(0)=\dfrac{1}{32}
p_X(1)=\dfrac{5}{32}
p_X(2)=\dfrac{10}{32}=\dfrac{5}{16}
p_X(3)=\dfrac{10}{32}=\dfrac{5}{16}
p_X(4)=\dfrac{5}{32}
p_X(5)=\dfrac{1}{32}

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