Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:
Exatamente 10 ou 11 tenham feito cursinho?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Foi dado que “três em cada quatro alunos fizeram cursinho”, ou seja a probabilidade de um aluno ter feito cursinho é p=\tfrac{3}{4}.
  • O número de alunos selecionados é n=16.
  • A pergunta: qual a probabilidade de que exatamente 10 ou exatamente 11 desses 16 tenham feito cursinho?

Passo 2

Escolhendo o modelo probabilístico adequado (sem detalhes técnicos: é o modelo que cabe quando temos n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso em cada um):
  • Seja X a variável aleatória “número de alunos entre 16 que fizeram cursinho”.
  • X segue a distribuição binomial com parâmetros n=16 e p=\tfrac{3}{4}.
  • A fórmula da probabilidade de exatamente k sucessos em uma binomial é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{\,k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de combinações (lê-se “n escolhe k”).

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula para os dois casos e somar, porque “exatamente 10 ou 11” são eventos mutuamente exclusivos:
P(X=10\\ \text{ou}\\\ 11)=P(X=10)+P(X=11).
Com n=16 e p=\tfrac{3}{4} (logo 1-p=\tfrac{1}{4}), temos
P(X=10)=\binom{16}{10}\left(\tfrac{3}{4}\right)^{10}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{6}, \qquad P(X=11)=\binom{16}{11}\left(\tfrac{3}{4}\right)^{11}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{5}.

Passo 4

Calcular as combinações \binom{16}{10} e \binom{16}{11}.
  • Para \binom{16}{10}=\dfrac{16!}{10!6!} calcula-se de forma prática:
\binom{16}{10}=\frac{16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Fazendo as contas:
16\cdot15=240,\quad 240\cdot14=3360,\quad 3360\cdot13=43680,
43680\cdot12=524160,\quad 524160\cdot11=5765760,
\frac{5765760}{720}=8008.
Logo \binom{16}{10}=8008.
  • Para \binom{16}{11}=\binom{16}{5} (simetria das combinações):
\binom{16}{5}=\frac{16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Calculando:
16\cdot15=240,\quad 240\cdot14=3360,\quad 3360\cdot13=43680,\quad 43680\cdot12=524160,
\frac{524160}{120}=4368.
Logo \binom{16}{11}=4368.

Passo 5

Substituir nas fórmulas e simplificar as potências em forma de frações:
P(X=10)=8008\left(\tfrac{3}{4}\right)^{10}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{6} =8008\cdot\frac{3^{10}}{4^{16}},
P(X=11)=4368\left(\tfrac{3}{4}\right)^{11}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{5} =4368\cdot\frac{3^{11}}{4^{16}}.
Ambos têm denominador comum 4^{16}. Para continuar precisamos dos valores das potências:
3^{10}=59049,\qquad 3^{11}=177147,\qquad 4^{16}=2^{32}=4294967296.

Passo 6

Calcular numeradores e as probabilidades numéricas:
  • Numerador de P(X=10):
8008\cdot 59049 = 472864392,
portanto
P(X=10)=\frac{472864392}{4294967296}\approx 0,110197.
  • Numerador de P(X=11):
4368\cdot 177147 = 773778096,
portanto
P(X=11)=\frac{773778096}{4294967296}\approx 0,180160.
Somando:
P(X=10\\ \text{ou}\\\ 11)=\frac{472864392+773778096}{4294967296} =\frac{1246642488}{4294967296}\approx 0,290357.

Passo 7

Interpretação breve (estou torcendo por você!): a probabilidade de que, num grupo de 16 alunos escolhidos ao acaso, exatamente 10 ou 11 tenham feito cursinho é cerca de 29{,}04\% – aqui arredondamos para três casas decimais como 0{,}290.

Resposta

\displaystyle P=\frac{8008\cdot3^{10}+4368\cdot3^{11}}{4^{16}}\approx 0,290357

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