Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:
Exatamente 10 ou 11 tenham feito cursinho?
Exatamente 10 ou 11 tenham feito cursinho?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Foi dado que “três em cada quatro alunos fizeram cursinho”, ou seja a probabilidade de um aluno ter feito cursinho é
. - O número de alunos selecionados é
. - A pergunta: qual a probabilidade de que exatamente 10 ou exatamente 11 desses 16 tenham feito cursinho?
Passo 2
Escolhendo o modelo probabilístico adequado (sem detalhes técnicos: é o modelo que cabe quando temos
ensaios independentes com probabilidade
de sucesso em cada um):
- Seja
a variável aleatória “número de alunos entre 16 que fizeram cursinho”. -
segue a distribuição binomial com parâmetros e . - A fórmula da probabilidade de exatamente
sucessos em uma binomial é
onde
é o número de combinações (lê-se “n escolhe k”).
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula para os dois casos e somar, porque “exatamente 10 ou 11” são eventos mutuamente exclusivos:
Com
e
(logo
), temos
Passo 4
Calcular as combinações
e
.
- Para
calcula-se de forma prática:
Fazendo as contas:
Logo
.
- Para
(simetria das combinações):
Calculando:
Logo
.
Passo 5
Substituir nas fórmulas e simplificar as potências em forma de frações:
Ambos têm denominador comum
. Para continuar precisamos dos valores das potências:
Passo 6
Calcular numeradores e as probabilidades numéricas:
- Numerador de
:
portanto
- Numerador de
:
portanto
Somando:
Passo 7
Interpretação breve (estou torcendo por você!): a probabilidade de que, num grupo de 16 alunos escolhidos ao acaso, exatamente 10 ou 11 tenham feito cursinho é cerca de
– aqui arredondamos para três casas decimais como
.