Um atirador tem a probabilidade igual a 0,3 de acertar o alvo. Se ele atirar 6 vezes, qual é a probabilidade de:
a) acertar exatamente dois tiros
b) acertar no máximo dois tiros
a) acertar exatamente dois tiros
b) acertar no máximo dois tiros
Passo 1
O enunciado nos dá claramente as seguintes informações e pedidos:
- O atirador tem probabilidade de sucesso (acertar) igual a
em cada tiro. - Ele realiza
tiros (cada tiro é independente). - Perguntas:
a) Qual a probabilidade de acertar exatamentetiros?
b) Qual a probabilidade de acertar no máximotiros (ou seja, , ou acertos)?
Passo 2
Modelo que vamos usar (explicação didática):
- Cada tiro é um experimento com duas possibilidades: sucesso (acerto) ou fracasso (erro). Isso é chamado de “ensaio de Bernoulli”.
- Quando repetimos
ensaios idênticos e independentes com probabilidade de sucesso , o número de sucessos segue a distribuição binomial. Escrevemos . - A fórmula da probabilidade de obter exatamente
sucessos é:
Aqui:
-
é o coeficiente binomial (número de formas de escolher quais tiros foram os acertos), -
é a probabilidade de sucesso em cada tiro, -
é a probabilidade de fracasso em cada tiro, -
é o número total de tiros, -
é o número de acertos desejado. - Para o nosso problema:
e . Então .
Passo 3
Calcular o coeficiente binomial necessário para
:
(Isto conta de quantas maneiras diferentes os
acertos podem ocorrer entre os
tiros.)
Passo 4
Calcular a probabilidade de exatamente
acertos usando a fórmula:
Agora calculamos passo a passo:
Multiplicando:
Finalmente:
Passo 5
Para "no máximo
" queremos
Já temos
. Vamos calcular
e
.
Passo 6
Calcular
:
Calculando potências:
Logo
Passo 7
Calcular
:
Já temos
, então
Então
e
Passo 8
Somar as três probabilidades para obter
:
Somando:
Arredondando,
.
Passo 9
Comentários finais rápidos e incentivo: deu bastante conta, mas o método é sempre o mesmo para problemas com ensaios independentes — identificar
,
, usar a fórmula binomial e somar os termos quando for “no máximo”. Você conseguiu — repete esse procedimento em exercícios parecidos e fica mais fácil!
Resposta
a)
b)
b)