Um atirador tem a probabilidade igual a 0,3 de acertar o alvo. Se ele atirar 6 vezes, qual é a probabilidade de:
a) acertar exatamente dois tiros
b) acertar no máximo dois tiros

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as seguintes informações e pedidos:
  • O atirador tem probabilidade de sucesso (acertar) igual a 0,3 em cada tiro.
  • Ele realiza 6 tiros (cada tiro é independente).
  • Perguntas:
    a) Qual a probabilidade de acertar exatamente 2 tiros?
    b) Qual a probabilidade de acertar no máximo 2 tiros (ou seja, 0, 1 ou 2 acertos)?

Passo 2

Modelo que vamos usar (explicação didática):
  • Cada tiro é um experimento com duas possibilidades: sucesso (acerto) ou fracasso (erro). Isso é chamado de “ensaio de Bernoulli”.
  • Quando repetimos n ensaios idênticos e independentes com probabilidade de sucesso p, o número de sucessos X segue a distribuição binomial. Escrevemos X \sim \text{Bin}(n,p).
  • A fórmula da probabilidade de obter exatamente k sucessos é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Aqui:
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de formas de escolher quais k tiros foram os acertos),
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tiro,
  • 1-p é a probabilidade de fracasso em cada tiro,
  • n é o número total de tiros,
  • k é o número de acertos desejado.
  • Para o nosso problema: n=6 e p=0,3. Então 1-p=0,7.

Passo 3

Calcular o coeficiente binomial necessário para k=2:
\binom{6}{2}=\frac{6!}{2!\,4!}=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}=15.
(Isto conta de quantas maneiras diferentes os 2 acertos podem ocorrer entre os 6 tiros.)

Passo 4

Calcular a probabilidade de exatamente 2 acertos usando a fórmula:
P(X=2)=\binom{6}{2}\,(0,3)^{2}\,(0,7)^{4}.
Agora calculamos passo a passo:
(0,3)^{2}=0,09, \qquad (0,7)^{4}=0,2401.
Multiplicando:
0,09\times 0,2401=0,021609.
Finalmente:
P(X=2)=15\times 0,021609=0,324135.

Passo 5

Para "no máximo 2" queremos
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).
Já temos P(X=2)=0,324135. Vamos calcular P(X=0) e P(X=1).

Passo 6

Calcular P(X=0):
P(X=0)=\binom{6}{0}\,(0,3)^{0}\,(0,7)^{6}=1\times 1\times (0,7)^{6}.
Calculando potências:
(0,7)^{3}=0,343,\qquad (0,7)^{6}=(0,343)^{2}=0,117649.
Logo
P(X=0)=0,117649.

Passo 7

Calcular P(X=1):
P(X=1)=\binom{6}{1}\,(0,3)^{1}\,(0,7)^{5}=6\times 0,3\times(0,7)^{5}.
Já temos (0,7)^{4}=0,2401, então
(0,7)^{5}=0,2401\times 0,7=0,16807.
Então
0,3\times 0,16807=0,050421,
e
P(X=1)=6\times 0,050421=0,302526.

Passo 8

Somar as três probabilidades para obter P(X\le 2):
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,117649+0,302526+0,324135.
Somando:
P(X\le 2)=0,744310.
Arredondando, P(X\le 2)\approx 0,7443.

Passo 9

Comentários finais rápidos e incentivo: deu bastante conta, mas o método é sempre o mesmo para problemas com ensaios independentes — identificar n, p, usar a fórmula binomial e somar os termos quando for “no máximo”. Você conseguiu — repete esse procedimento em exercícios parecidos e fica mais fácil!

Resposta

a) 0,324135
b) 0,744310

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