Uma pesquisa foi realizada numa certa cidade e foi constatado que o peso das mochilas dos 10000 estudantes na faixa de 8 a 12 anos é uma variável normal com média de 8 kg e desvio padrão igual a 1,5 \mathrm{~kg}. Pergunta-se:
Quantos estudantes existem com mochilas pesando entre \mu-3 \sigma \mathrm{e} \mu+3 \sigma

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
  • Dados fornecidos:
    • Número total de estudantes: 10000.
    • A variável “peso da mochila” é normal com média \mu=8\\ \mathrm{kg} e desvio padrão \sigma=1,5\\ \mathrm{kg}.
  • O que é pedido:
    • Quantos estudantes têm mochilas com peso entre \mu-3\sigma e \mu+3\sigma.

Passo 2

Calcular os extremos do intervalo \mu-3\sigma e \mu+3\sigma.
\mu-3\sigma = 8 - 3\cdot1,5 = 8 - 4,5 = 3,5\\ \mathrm{kg}
\mu+3\sigma = 8 + 3\cdot1,5 = 8 + 4,5 = 12,5\\ \mathrm{kg}
Portanto estamos interessados na probabilidade de uma mochila pesar entre 3,5\\ \mathrm{kg} e 12,5\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Lembrando como trabalhar com a distribuição normal padrão. Seja X a variável com X\sim N(\mu,\sigma^2). Define-se a variável padronizada
Z = \frac{X-\mu}{\sigma},
que tem distribuição normal padrão Z\sim N(0,1). Assim qualquer probabilidade do tipo P(a\le X\le b) pode ser escrita em termos da função de distribuição acumulada da normal padrão, \Phi(\cdot), via
P(a\le X\le b)=P\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\le Z\le\frac{b-\mu}{\sigma}\right).
No nosso caso a=\mu-3\sigma e b=\mu+3\sigma, então os z-scores são -3 e 3.

Passo 4

Escrever a probabilidade desejada em termos de \Phi:
P(\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma)=P(-3\le Z\le 3)=\Phi(3)-\Phi(-3).
Usando a simetria da normal padrão vale \Phi(-3)=1-\Phi(3). Assim
\Phi(3)-\Phi(-3)=2\Phi(3)-1.
Pelo uso de tabelas da normal padrão (ou calculadora), tem-se aproximadamente \Phi(3)\approx 0,99865. Então
P(-3\le Z\le 3)\approx 2\cdot0,99865-1=0,99730.
Este número também é conhecido pela “regra empírica” (ou regra 68-95-99{,}7): cerca de 99{,}73\% dos valores caem dentro de \pm3\sigma da média.

Passo 5

Converter a probabilidade em número de estudantes multiplicando pelo total:
\text{número esperado} = 0,99730 \times 10000 = 9973.ú
Como não podemos ter uma fração de estudante, arredonda-se para o inteiro mais próximo. Portanto aproximadamente 9973 estudantes têm mochilas com peso entre 3,5\\ \mathrm{kg} e 12,5\\ \mathrm{kg}.

Resposta

9973 estudantes

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