Uma pesquisa foi realizada numa certa cidade e foi constatado que o peso das mochilas dos 10000 estudantes na faixa de 8 a 12 anos é uma variável normal com média de 8 kg e desvio padrão igual a 1,5 \mathrm{~kg}. Pergunta-se:
Quantos estudantes existem com mochilas pesando entre \mu-\sigma \mathrm{e} \mu+\sigma

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma):
  • 10000 estudantes (tamanho da população).
  • O peso das mochilas é uma variável aleatória X que segue uma distribuição normal com média \mu=8\\ \mathrm{kg} e desvio padrão \sigma=1,5\\ \mathrm{kg}.
  • A pergunta é: quantos estudantes têm mochilas com peso entre \mu-\sigma e \mu+\sigma, ou seja, entre 8-1,5 kg e 8+1,5 kg.

Passo 2

O que significa “entre \mu-\sigma e \mu+\sigma” numa normal?
  • Para uma variável normal X\sim N(\mu,\sigma^2), a probabilidade pedida é
P(\mu-\sigma < X < \mu+\sigma).
  • Uma maneira muito útil é padronizar X para a normal padrão (média zero e variância 1). Definimos a variável padrão
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Explicando devagar: essa transformação subtrai a média (centraliza em zero) e divide pelo desvio padrão (mede em “unidades de desvio padrão”), então qualquer valor de X vira um valor correspondente de Z.

Passo 3

Aplicando a padronização aos limites \mu-\sigma e \mu+\sigma:
  • Para o limite inferior:
\frac{\mu-\sigma-\mu}{\sigma}=\frac{-\sigma}{\sigma}=-1.
  • Para o limite superior:
\frac{\mu+\sigma-\mu}{\sigma}=\frac{\sigma}{\sigma}=1.
Logo
P(\mu-\sigma < X < \mu+\sigma)=P(-1<Z<1).
Isto significa: queremos a probabilidade de a normal padrão Z estar entre -1 e 1.

Passo 4

Como calcular P(-1<Z<1)?
  • A função de distribuição da normal padrão é \Phi(z)=P(Z\le z).
  • Então
P(-1<Z<1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
  • Por simetria da normal (é simétrica em torno de zero) vale \Phi(-1)=1-\Phi(1). Assim
P(-1<Z<1)=\Phi(1)-(1-\Phi(1))=2\Phi(1)-1.
  • O valor tabelado (ou conhecido) é \Phi(1)\approx0,8413 (essa é a probabilidade de Z ser menor ou igual a 1). Substituindo:
P(-1<Z<1)\approx 2\cdot0,8413-1=0,6826\\ (\text{aprox.}).
Observação prática: esse resultado é o famoso “68,27%” da regra empírica (68–95–99,7) para a normal; aqui arredondei para 0,6826 ou 68,26\% por aproximação de tabela.

Passo 5

Converter a probabilidade em número de estudantes:
  • A fração de estudantes com mochilas entre \mu-\sigma e \mu+\sigma é aproximadamente 0,6826.
  • Multiplicando pelo total de 10000 estudantes:
10000\cdot0,6826=6826.
  • Se usarmos uma precisão ligeiramente maior ( \Phi(1)\approx0,8413447), obtemos
P(-1<Z<1)\approx0,6826895
e
10000\cdot0,6826895\approx6826{,}895,
que arredondado para o estudante inteiro mais próximo dá 6827 estudantes.

Passo 6

Interpretação e dica para a prova
  • Resumindo: aproximadamente 68{,}3\% dos casos caem dentro de um desvio padrão da média para uma normal. Então, de 10000 estudantes, algo em torno de 6827 têm mochila com peso entre 6,5\\ \mathrm{kg} ( 8-1,5) e 9,5\\ \mathrm{kg} ( 8+1,5).
  • Dica prática: em prova, se precisar rapidez e a pergunta for “entre \mu\pm\sigma”, pode usar diretamente a regra empírica \approx68{,}27\% e multiplicar pelo total.

Resposta

6827 estudantes (aproximadamente)

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