Uma pesquisa foi realizada numa certa cidade e foi constatado que o peso das mochilas dos 10000 estudantes na faixa de 8 a 12 anos é uma variável normal com média de 8 kg e desvio padrão igual a
. Pergunta-se:
Quantos estudantes existem com mochilas pesando entre
Quantos estudantes existem com mochilas pesando entre
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma):
- Há
estudantes (tamanho da população). - O peso das mochilas é uma variável aleatória
que segue uma distribuição normal com média e desvio padrão . - A pergunta é: quantos estudantes têm mochilas com peso entre
e , ou seja, entre kg e kg.
Passo 2
O que significa “entre
e
” numa normal?
- Para uma variável normal
, a probabilidade pedida é
- Uma maneira muito útil é padronizar
para a normal padrão (média zero e variância 1). Definimos a variável padrão
Explicando devagar: essa transformação subtrai a média (centraliza em zero) e divide pelo desvio padrão (mede em “unidades de desvio padrão”), então qualquer valor de
vira um valor correspondente de
.
Passo 3
Aplicando a padronização aos limites
e
:
- Para o limite inferior:
- Para o limite superior:
Logo
Isto significa: queremos a probabilidade de a normal padrão
estar entre
e
.
Passo 4
Como calcular
?
- A função de distribuição da normal padrão é
. - Então
- Por simetria da normal (é simétrica em torno de zero) vale
. Assim
- O valor tabelado (ou conhecido) é
(essa é a probabilidade de ser menor ou igual a ). Substituindo:
Observação prática: esse resultado é o famoso “68,27%” da regra empírica (68–95–99,7) para a normal; aqui arredondei para
ou
por aproximação de tabela.
Passo 5
Converter a probabilidade em número de estudantes:
- A fração de estudantes com mochilas entre
e é aproximadamente . - Multiplicando pelo total de
estudantes:
- Se usarmos uma precisão ligeiramente maior (
), obtemos
e
que arredondado para o estudante inteiro mais próximo dá
estudantes.
Passo 6
Interpretação e dica para a prova
- Resumindo: aproximadamente
dos casos caem dentro de um desvio padrão da média para uma normal. Então, de estudantes, algo em torno de têm mochila com peso entre ( ) e ( ). - Dica prática: em prova, se precisar rapidez e a pergunta for “entre
”, pode usar diretamente a regra empírica e multiplicar pelo total.