Quais as semelhanças e diferenças entre os conjuntos de dados? (1 p.)

Passo 1

O enunciado pede: “Quais as semelhanças e diferenças entre os conjuntos de dados?”
Informações relevantes extraídas da figura (valores e suas frequências, pego da imagem):
  • Conjunto (i): valores e frequências \{4:1,\;5:2,\;6:3,\;7:4,\;8:3,\;9:2,\;10:1\}.
  • Conjunto (ii): valores e frequências \{4:6,\;5:2,\;6:0,\;7:0,\;8:0,\;9:2,\;10:6\}.
  • Conjunto (iii): valores e frequências \{6:5,\;7:6,\;8:5\}.
    Observações úteis que já se vê na figura: todos os conjuntos usam valores entre \,4 e \,10 e cada conjunto tem 16 observações no total (soma das frequências é 16 em cada caso).

Passo 2

Vou calcular a média de cada conjunto (média aritmética ponderada por frequências). Fórmula: \bar{x}=\dfrac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}, onde f_i é a frequência de x_i.
  • Para (i): \sum f_i x_i=4\cdot1+5\cdot2+6\cdot3+7\cdot4+8\cdot3+9\cdot2+10\cdot1=112. Então \bar{x}=\dfrac{112}{16}=7.
  • Para (ii): \sum f_i x_i=4\cdot6+5\cdot2+9\cdot2+10\cdot6=112. Então \bar{x}=\dfrac{112}{16}=7.
  • Para (iii): \sum f_i x_i=6\cdot5+7\cdot6+8\cdot5=112. Então \bar{x}=\dfrac{112}{16}=7.
Interpretação rápida: as três distribuições têm a mesma média \bar{x}=7. Legal — apesar das formas diferentes, o “centro de massa” é igual.

Passo 3

Vou achar a mediana de cada conjunto. Como há \,16 observações em cada caso, a mediana é a média da 8^\text{o} e da 9^\text{o} observação ordenada.
  • (i): acumuladas: 1,3,6,10,\ldots. As 8ª e 9ª estão dentro do valor 7. Mediana =7.
  • (ii): acumuladas: 6 (valor 4), 8 (valor 5), depois vem 9 e 10 nas posições seguintes (valores 9), então a 8ª é 5 e a 9ª é 9. Mediana =\dfrac{5+9}{2}=7.
  • (iii): acumuladas: 5 (valor 6), 11 (valor 7). As 8ª e 9ª estão em 7. Mediana =7.
Conclusão: as três têm a mesma mediana 7.

Passo 4

Modo (valor com maior frequência):
  • (i): modo é 7 (freqência 4).
  • (ii): modos são 4 e 10 (ambos com frequência 6; distribuição bimodal).
  • (iii): modo é 7 (frequência 6).
Isso já revela uma diferença: (ii) é claramente bimodal, enquanto (i) e (iii) são unimodais com pico em 7.

Passo 5

Agora explico e calculo a dispersão (variância e desvio padrão) para comparar espalhamento. Conceito curto: variância mede quanto, em média, os valores se afastam do centro \bar{x}. Fórmula para a variância populacional aqui: \sigma^2=\dfrac{\sum f_i (x_i-\bar{x})^2}{\sum f_i}. O desvio padrão é \sigma=\sqrt{\sigma^2}.
Calculemos usando \bar{x}=7:
  • (i): diferenças x-7 são -3,-2,-1,0,1,2,3 com quadrados 9,4,1,0,1,4,9 e multiplicando por f_i dá contribuições 9\cdot1,\;4\cdot2,\;1\cdot3,\;0\cdot4,\;1\cdot3,\;4\cdot2,\;9\cdot1. Soma =40.
    \sigma^2_{(i)}=\dfrac{40}{16}=2{,}5. \sigma_{(i)}\approx1{,}58.
  • (ii): só aparecem desvios -3 (freq 6), -2 (freq 2), +2 (freq 2), +3 (freq 6). Contribuições: 9\cdot6=54,\;4\cdot2=8,\;4\cdot2=8,\;9\cdot6=54. Soma =124.
    \sigma^2_{(ii)}=\dfrac{124}{16}=7{,}75. \sigma_{(ii)}\approx2{,}78.
  • (iii): desvios -1 (freq 5), 0 (freq 6), +1 (freq 5). Contribuições 1\cdot5=5,\;0\cdot6=0,\;1\cdot5=5. Soma =10.
    \sigma^2_{(iii)}=\dfrac{10}{16}=0{,}625. \sigma_{(iii)}\approx0{,}79.
Interpretação: (iii) é a mais concentrada (menor variância), (i) tem dispersão moderada, (ii) é a mais espalhada (maior variância). Em palavras: (ii) tem muitos valores longe do centro (4 e 10), por isso variância alta.

Passo 6

Resumo das formas (aspecto visual):
  • (i): formato em “sino” discreto, unimodal e simétrico em torno de 7; espalhamento médio.
  • (ii): distribuição bimodal com dois picos nas extremidades 4 e 10, um vale no meio (faltam observações em 6,7,8); simétrica no sentido de que os picos são simetricamente colocados em torno de 7, mas muito dispersa.
  • (iii): unimodal e muito concentrada em torno de 7 (barras em 6,7,8 apenas); mais estreita e alta no centro.

Passo 7

Conclusão prática (como responder rápido na prova): todos os três conjuntos têm o mesmo centro (média e mediana iguais a \,7), a mesma amplitude total ( 4 a 10) e o mesmo número de observações ( 16). Diferem na forma e dispersão: (ii) é bimodal e muito mais espalhado (maior variância), (i) é unimodal simétrica com espalhamento moderado, e (iii) é unimodal simétrica e bem concentrada em torno de 7 (menor variância). Esses são os pontos essenciais para comparar semelhanças e diferenças.

Resposta

Semelhanças: mesmas média \bar{x}=7, mesma mediana 7, mesma amplitude de valores ( 4 a 10) e mesmo total de observações ( 16).
Diferenças: (ii) é bimodal com picos em 4 e 10 e maior dispersão ( \sigma^2=7{,}75); (i) é unimodal simétrica em 7 com dispersão moderada ( \sigma^2=2{,}5); (iii) é unimodal simétrica muito concentrada em 7 com menor dispersão ( \sigma^2=0{,}625).

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