Atividade 01: Cálculo de probabilidade

Para o estado fundamental do átomo de hidrogênio, determine a probabilidade (em %) de encontrar o elétron entre r=0 e r=a0. Se desejar, use um software para calcular a integral.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de encontrar o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio entre r=0 e r=a0. O conteúdo envolve a densidade de probabilidade radial em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos usar a função de onda psi100(r) e calcular
P = integral0^a0 |psi100(r)|^2,4pi r^2,dr

Passo 2

A função de onda do estado fundamental é
psi100(r) = 1raizpi,a0^3,e^-r/a0
Logo, a densidade de probabilidade radial vale
4pi r^2,|psi100(r)|^2 = 4pi r^2;1pi,a0^3,e^-2r/a0 = 4,r^2a0^3,e^-2r/a0
Assim,
P = integral0^a0 4,r^2a0^3,e^-2r/a0,dr

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
rho = 2ra0, r = a02,rho, dr = a02,drho
Os limites r=0to a0 viram rho=0to2. Substituindo na integral,
P = integral0^2 4l(tfraca02rhor)^2a0^3,e^-rho,a02,drho = 12 integral0^2 rho^2 e^-rho,drho

Passo 4

Para calcular integral0^2rho^2 e^-rho,drho, usamos a primitiva
integral0^xrho^2 e^-rho,drho = -e^-rhol(rho^2+2rho+2r)|0^x = 2 - e^-xl(x^2+2x+2r)
Com x=2,
integral0^2rho^2 e^-rho,drho = 2 - e^-2(4+4+2) = 2 - 10,e^-2

Passo 5

Substituindo em P,
P = 12l(2 - 10,e^-2r) = 1 - 5,e^-2

Passo 6

Como e^-2approx0,135335, temos
P approx 1 - 5times0,135335 = 0,323324,
ou seja cerca de 32,33%.

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron entre r=0 e r=a0 no estado fundamental é aproximadamente 32,3%.

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