Seja a equação diferencial
.
(a) Mostre que a sua equação indicial é dada por
.
(b) Mostre que a relação de recorrência é dada por
(c) Mostre que a solução geral da equação é dada por
(a) Mostre que a sua equação indicial é dada por
(b) Mostre que a relação de recorrência é dada por
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em série de potências pelo método de Frobenius em torno de
, a equação diferencial
Vamos assumir
e determinar (a) a equação indicial; (b) a relação de recorrência entre os
; (c) as séries explícitas das duas soluções independentes.
Passo 2
Substituímos
em
obtendo
O menor expoente ocorre em
no primeiro somatório, cujo coeficiente é
. Como
, a equação indicial é
Passo 3
Para igualar coeficientes de
(
) recolocamos índices e achamos a condição
com
. Logo
Para
isso vira
Tomando
, obtemos
Em particular, para
o termo
some, e fica
Passo 4
Cada raiz da indicial gera uma série independente:
— Para
(solução par) tomamos
,
. Da recorrência vêm
Identifica-se
e
. Logo
— Para
(solução ímpar) tomamos
,
. Da recorrência vêm
Logo
Por linearidade, a solução geral é a combinação
.