Seja a equação diferencial y^prime prime+(1-x^2) y=0.
(a) Mostre que a sua equação indicial é dada por alpha(alpha-1)=0.
(b) Mostre que a relação de recorrência é dada por
lll ak=-ak-2k(k-1), & para & k=2,3 ak=ak-4-ak-2k(k-1), & para & k >= 4
(c) Mostre que a solução geral da equação é dada por
y(x)=A[1-x^22+12!(x^22)^2-13!(x^22)^3+cdots]+B[x-16+x^3+7120 x^5-3560 x^7+cdots]

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em série de potências pelo método de Frobenius em torno de x=0, a equação diferencial
y'' + (1 - x^2),y = 0
Vamos assumir
y(x)=sumk=0^inftyak,x^k+alpha, a0neq0
e determinar (a) a equação indicial; (b) a relação de recorrência entre os ak; (c) as séries explícitas das duas soluções independentes.

Passo 2

Substituímos
y=sumk=0^infty ak x^k+alpha, y'=sumk=0^infty ak(k+alpha)x^k+alpha-1, y''=sumk=0^infty ak(k+alpha)(k+alpha-1)x^k+alpha-2
em
y''+(1-x^2)y=0,
obtendo
sumk=0^infty ak(k+alpha)(k+alpha-1)x^k+alpha-2 +sumk=0^infty akx^k+alpha -sumk=0^infty akx^k+alpha+2=0
O menor expoente ocorre em x^alpha-2 no primeiro somatório, cujo coeficiente é a0,alpha(alpha-1). Como a0neq0, a equação indicial é
alpha(alpha-1)=0

Passo 3

Para igualar coeficientes de x^n+alpha ( n>=0) recolocamos índices e achamos a condição
an+2(n+2+alpha)(n+1+alpha)+an - an-2=0,
com a-1=a-2=0. Logo
an+2=an-2-an(n+2+alpha)(n+1+alpha)
Para alpha=0 isso vira
an+2=an-2-an(n+2)(n+1)
Tomando k=n+2, obtemos
ak=ak-4-ak-2k(k-1), k>=2
Em particular, para k=2,3 o termo ak-4 some, e fica
ak=-ak-2k(k-1), k=2,3

Passo 4

Cada raiz da indicial gera uma série independente:
— Para alpha=0 (solução par) tomamos a0=A, a1=0. Da recorrência vêm
a2=-A2cdot1=-A2, a4=A-(-A/2)4cdot3=A8, a6=-a46cdot5=-A48,dots
Identifica-se a2m=(-1)^mA/(m!,2^m) e a2m+1=0. Logo
y1(x)=Asumm=0^infty(-1)^mm!l(x^22r)^m = Al[1-x^22+12!l(x^22r)^2-13!l(x^22r)^3+cdotsr]
— Para alpha=1 (solução ímpar) tomamos a1=B, a0=0. Da recorrência vêm
a3=-B3cdot2=-B6, a5=B-(-B/6)5cdot4=7B120, a7=-a57cdot6=-3B560,dots
Logo
y2(x)=Bsumm=0^infty a2m+1x^2m+1 = Bl[x-x^36+7x^5120-3x^7560+cdotsr]
Por linearidade, a solução geral é a combinação y=y1+y2.

Resposta

y(x)=Al[1-x^22+12!l(x^22r)^2 -13!l(x^22r)^3+cdotsr] + Bl[x-x^36+7x^5120-3x^7560+cdotsr]

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