Encontre a energia armazenada em uma seção de comprimento l de um solenoide longo (raio R, corrente i, n voltas por unidade de comprimento), pelos métodos abaixo:
(a) usando a equação W=12 L i^2 (use o resultado da Questão 09);
(b) usando a equação W=12 oint(A cdot i) d l (encontre o potencial vetorial magnético dentro do solenoide);
(c) usando a equação W=12 mu0 integral todo o espaço B^2 d Vç (use o campo magnético dentro do solenoide).

Passo 1

O enunciado pede a energia magnética armazenada numa seção de comprimento l de um solenoide longo (raio R, corrente i, n voltas por unidade de comprimento) por três métodos distintos:
  • (a) usando
W=12L,i^2,
onde L é a indutância da seção de comprimento l (resultado da Questão 09).
  • (b) usando
W=12oint(Acdoti),dl,
onde A é o potencial vetorial magnético ao longo do fio.
  • (c) usando
W=12mu0integraltodo o espaçoB^2,dV, ç
com o campo magnético B conhecido dentro do solenoide.

Passo 2

(a) Pelo resultado da Questão 09, a indutância de um solenoide de seção reta circular é
L = mu0,n^2,pi R^2,l
Logo
W = 12L,i^2 = 12,mu0,n^2,pi R^2,l,i^2

Passo 3

(b) Primeiro determinamos o potencial vetorial dentro do solenoide. Como nablatimesA=B,z com B=mu0n,i, em coordenadas cilíndricas obtém-se
Aphi(r) =mu0n,i2,r, r<= R
Em cada espira de raio R temos
ointAcdot dl =integral0^2piAphi(R),R,dphi = Aphi(R),2pi R = mu0n,i,pi R^2
Como há N = n,l espiras na seção,
W = 12,il(N,mu0n,i,pi R^2r) = 12,mu0,n^2,pi R^2,l,i^2

Passo 4

(c) Pelo campo B=mu0n,i uniforme no interior e nulo fora,
integral B^2,dV = l(mu0n,ir)^2times(volume) = mu0^2n^2i^2,l(pi R^2lr)
Logo
W =12mu0integral B^2,dV = 12mu0;mu0^2n^2i^2,pi R^2l = 12,mu0,n^2,pi R^2,l,i^2

Resposta

Em todos os métodos obtém-se
boxedW = 12,mu0,n^2,pi R^2,l,i^2

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