Questão 01: Força variável

Sobre uma partícula de massa 2 kg , cujo movimento está restrito ao eixo x, age uma única força na direção e no sentido positivo do eixo x, e cuja intensidade varia com a posição segundo a equação F(x)=3 x^5-8 x, onde x está em metros e F em Newtons.
(a) (1,0) Calcule a aceleração da partícula na posição x=2 m.
(b) (2,0) Calcule o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de x=0 até x=2 m.
(c) (1 , 0 ) Se em x=0 a partícula está parada, qual seria a sua velocidade em x=2 m ?

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m=2,kg que se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força variável
F(x)=3x^5-8x,
com x em metros e F em newtons. Para resolvermos, vamos usar:
1. A segunda lei de Newton, ,F=ma, para achar a aceleração a(x).
2. A definição de trabalho de uma força variável,
W=integralxi^xfF(x),dx
3. O teorema trabalho‐energia,
W=De<a K=tfrac12 m v^2 - tfrac12 m v0^2,
para determinar a velocidade quando a partícula sai de repouso.

Passo 2

Para calcular a aceleração em x=2,m, usamos
a(2)=F(2)m
Primeiro avaliaremos F(2):
F(2)=3cdot 2^5 - 8cdot 2 = 3cdot 32 - 16 = 96 - 16 = 80 N
Logo
a(2)=802 = 40 m/s^2

Passo 3

O trabalho realizado ao deslocar a partícula de x=0 até x=2 é
W=integral0^2l(3x^5-8xr),dx
Compute-se a integral:
integral 3x^5,dx=tfrac36x^6=tfrac12x^6, integral -8x,dx=-4x^2
Portanto
W=l[tfrac12x^6-4x^2r]0^2 =l(tfrac12cdot64-4cdot4r)-0 =32-16=16 J

Passo 4

Como a partícula parte do repouso em x=0 ( v0=0), o trabalho W vai para energia cinética final:
W=tfrac12m v^2Longrightarrow v=raiz2Wm =raiz2cdot162=raiz16=4 m/s

Resposta

(a) a(2)=40 m/s^2
(b) W=16 J
(c) v(2)=4 m/s

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