Atividade 01: Elétron em poço quadrado infinito

Suponha um elétron em uma caixa do tamanho aproximado de um átomo, ou seja, L=0,1 nm .
(a) Calcule a energia do estado fundamental do elétron. Expresse a resposta em eV.
(b) Calcule comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron sofre uma transição do estado n=3 para o estado fundamental. Em qual região do espectro está esse fóton?
(c) Suponha que o elétron está no estado n=3, e que x=0 e x=L são as extremidades da caixa. Qual é a probabilidade de, após uma medida de sua posição, encontrar o elétron entre x=L / 3 e x=2 L / 3 ?
(d) Suponha um certo experimento onde uma quantidade muito grande dessas caixas contendo um elétron são preparadas, e que esses elétrons estão exatamente no mesmo estado quântico. As caixas não interagem entre si. Um boa quantidade dessas caixas são coletadas e um físico experimental mede a energia de cada um dos elétrons. Ele encontrou que, em metade das medidas, os elétrons estavam com 37,74 eV de energia, enquanto que na outra metade, os elétrons estavam com 603,80 eV de energia. Escreva a função de onda dos outros elétrons cujas energias ainda não foram medidas.

Passo 1

O enunciado trata de um elétron confinado num poço infinito unidimensional de largura L=0,1 nm. Vamos usar:
1. Quantização de energia no poço infinito
En = n^2 h^28mL^2
2. Relação fóton
lambda = hcDe<a E
3. Probabilidade em QM
P = integralx1^x2|psin(x)|^2,dx
4. Estado superposto para obter medidas com probabilidades distintas.

Passo 2

(a) Energia do estado fundamental ( n=1):
E1 = h^28mL^2
Substituindo h=6,626times10^-34,J,s, m=9,109times10^-31,kg e L=1times10^-10,m,
E1 approx 6,02times10^-18,J
Convertendo para elétron-volts ( 1,eV=1,60times10^-19,J):
E1 approx 6,02times10^-181,60times10^-19;eVapprox37,6;eV

Passo 3

(b) Para a transição n=3to n=1:
De<a E = E3 - E1 = (9-1)E1 = 8E1 approx 8times37,6;eV = 300,8;eV
Usando hcapprox1240;eVcdot nm:
lambda = 1240;eVcdot nm300,8;eVapprox4,12;nm
Esse comprimento de onda situa-se na região do ultravioleta extremo / raios X brandos.

Passo 4

(c) Para n=3,
psi3(x) = raiz2Lsin!l(3pi x/Lr)
A probabilidade de encontrar xin[L/3,2L/3] é
P = integralL/3^2L/3 2Lsin^2!l(3pi x/Lr),dx
Use sin^2theta=(1-cos2theta)/2:
P = 1LintegralL/3^2L/3l[1-cos(6pi x/L)r],dx =1Ll[x-L6pisin!l(6pi x/Lr)r]L/3^2L/3 =1LcdotL3 =13

Passo 5

(d) Metade das medidas deu 37,74,eV ( E1) e a outra metade 603,80,eV. Note que
603,80E1approx16Rightarrow E=16E1=E4
Portanto todos os elétrons estavam no mesmo estado quântico
Psi(x) =1raiz2l[psi1(x)+psi4(x)r],
com
psin(x)=raiz2Lsin!l(npi xLr)

Resposta

(a) E1approx37,6;eV
(b) lambdaapprox4,12;nm, região UV extremo/raios X brandos.
(c) P=1/3
(d) Psi(x)=1raiz2l[psi1(x)+psi4(x)r], psin(x)=raiz2Lsin!l(npi x/Lr)

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