Um cientista possui uma resistência de valor desconhecido. Para medir o valor de , ele decide conectar os terminais de uma ou mais pilhas AA nos terminais do resistor, e medir o valor da corrente no circuito, sabendo que uma pilha AA gera uma tensão de . Para isso, ele usou de 1 a 4 pilhas, chegando na tabela abaixo:
Número de pilhas corrente medida
1 9,5
2 22,4
3 30,9
4 42,2
(a) Esboce um gráfico da corrente medida em função da quantidade de pilhas usada.
(b) Utilizando o método dos mínimos quadrados, obtenha a equação da corrente em função da quantidade de pilhas .
(c) A partir da equação anterior e sabendo que o resistor segue a lei de Ohm, obtenha o valor da resistência .

Passo 1

O enunciado dá uma resistência R desconhecida e mostra que, ao ligar N pilhas AA (cada uma de 1,5 V) em série nessa resistência, obtém-se uma corrente i. Medeu-se:
;(1,9,5), (2,22,4), (3,30,9), (4,42,2)
onde os pares são (N,i em mA).
Conteúdo: gráfico itimes N, regressão linear pelo método dos mínimos quadrados e lei de Ohm.

Passo 2

Esboce num sistema de eixos: no eixo horizontal coloque N=1,2,3,4; no vertical marque a corrente em mA e plote os pontos (1,9,5), (2,22,4), (3,30,9), (4,42,2). Observe que parecem alinhados, sugerindo um modelo linear i = a,N + b.

Passo 3

Calcule as médias
bar N = 1+2+3+44=2,5 , bar i = 9,5+22,4+30,9+42,24=26,25 mA
e as somas
SNN=sum(Ni-bar N)^2=5 , SNi=sum(Ni-bar N)(ii-bar i)=53,3
O coeficiente angular é
a = SNiSNN = 53,35 = 10,66 (mA por pilha)

Passo 4

O coeficiente linear vem de
b = bar i - a,bar N = 26,25 - 10,66cdot2,5 = -0,4 mA
Logo a regressão é
i(N) = 10,66,N ;-;0,4 (com i em mA)

Passo 5

Pela lei de Ohm, o circuito ideal satisfaz
i = VR e aqui V=1,5,N
Comparando com i(N)=a,N, tem-se
a = 1,5R Longrightarrow R = 1,5a = 1,50,01066approx 140,7 Omega

Resposta

(a) Gráfico com os pontos (1,9,5), (2,22,4), (3,30,9), (4,42,2) aproximados por uma reta.
(b) i(N)=10,66,N-0,4 (corrente em mA).
(c) Rapprox140,7 Omega.

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