(a)Qual é a atividade de 19 g de { }^{137} \mathrm{Cs}, no qual possui uma meia-vida de 33 anos? Se lembre que 137 g de { }^{137} C s \rightarrow 6,022 \times 10^{23} átomos. (b) Sabendo que a meia-vida biológica do { }^{137} \mathrm{Cs} foi de aproximadamente 100 dias no acidente de Goiânia, quanto valerá a sua meia-vida efetiva? (c) Quanto vale o número total de desintegrações desta fonte?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou listar direitinho para não perder nada):
  • Massa da amostra: \,19\\ \text{g}.
  • Informação de referência: \,137\\ \text{g} de {}^{137}\mathrm{Cs} correspondem a \,6{,}022\times10^{23} átomos (essa é a relação dada).
  • Meia-vida física (radioativa) do {}^{137}\mathrm{Cs}: \,T_{1/2,\text{fís}}=33\\ \text{anos}í.
  • Meia-vida biológica (no acidente de Goiânia): \,T_{1/2,\text{bio}}\approx100\\ \text{dias}.
O enunciado pede:
(a) A atividade (taxa de desintegração) da amostra de \,19\\ \text{g} de {}^{137}\mathrm{Cs}.
(b) A meia-vida efetiva quando há simultaneamente decaimento físico e remoção biológica.
(c) O número total de desintegrações desta fonte (isto é, o número total de núcleos que eventualmente decairão).

Passo 2

Calcular o número inicial de átomos da amostra ( N_0) usando a proporção fornecida:
N_0 = \frac{19}{137}\times 6{,}022\times10^{23}.
Faço a conta passo a passo:
\frac{19}{137}=0{,}138692\ldots
N_0 \approx 0{,}138692\times 6{,}022\times10^{23}\approx 8{,}35\times10^{22}\\ \text{átomos}.á
Então \,N_0 \approx 8{,}35\times10^{22}.

Passo 3

Explicar o que é atividade e a fórmula que vamos usar.
  • Atividade A é a taxa de desintegrações por unidade de tempo (unidade SI: becquerel, \mathrm{Bq}, onde 1\\ \mathrm{Bq}=1 desintegração por segundo).
  • A relação fundamental é
A=\lambda N,
onde \lambda é a constante de decaimento e N é o número de núcleos. A constante \lambda relaciona-se com a meia-vida por
\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}.
Aqui vou calcular \lambda usando a meia-vida física. Para obter A em \mathrm{Bq} preciso de \lambda em \mathrm{s^{-1}}, então converto a meia-vida de anos para segundos.

Passo 4

Converter \,T_{1/2,\text{fís}}=33\\ \text{anos}í em segundos (uso 1\\ \text{ano}=365\\ \text{dias} e 1\\ \text{dia}=86400\\ \text{s}):
T_{1/2,\text{fís}}=33\times365\times86400=1{,}040\,688\,000\\ \text{s}.í
Calcular \lambda:
\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2,\text{fís}}}=\frac{0{,}693147}{1{,}040\,688\,000}\approx 6{,}663\times10^{-10}\\ \mathrm{s^{-1}}.í
Agora a atividade inicial:
A=\lambda N_0 \approx (6{,}663\times10^{-10})(8{,}35\times10^{22})\approx 5{,}57\times10^{13}\\ \mathrm{Bq}.
Para termos uma noção prática também converto para curie (onde 1\\ \mathrm{Ci}=3{,}7\times10^{10}\\ \mathrm{Bq}):
A\approx\frac{5{,}57\times10^{13}}{3{,}7\times10^{10}}\approx 1{,}50\times10^{3}\\ \mathrm{Ci}.
Interpretação curta: a amostra de \,19\\ \text{g} tem atividade aproximada \,5{,}57\times10^{13}\\ \mathrm{Bq} (ou \,1{,}50\times10^{3}\\ \mathrm{Ci}) no instante inicial.

Passo 5

Calcular a meia-vida efetiva quando há remoção biológica. A ideia física e a fórmula:
  • Quando existem dois processos independentes que removem núcleos (decaimento físico com taxa \lambda_{\text{fís}}í e remoção biológica com taxa \lambda_{\text{bio}}), as constantes se somam e a constante efetiva é \lambda_{\text{ef}}=\lambda_{\text{fís}}+\lambda_{\text{bio}}í.
  • Em termos de meias-vidas vale a relação
\frac{1}{T_{1/2,\text{ef}}}=\frac{1}{T_{1/2,\text{fís}}}+\frac{1}{T_{1/2,\text{bio}}}.í
Para usar essa fórmula é conveniente medir tudo na mesma unidade; aqui uso dias para facilitar (já que T_{1/2,\text{bio}}=100\\ \text{dias}):
T_{1/2,\text{fís}}=33\times365=12045\\ \text{dias}.í
Calculo:
\frac{1}{T_{1/2,\text{ef}}}=\frac{1}{12045}+\frac{1}{100}=8{,}302\times10^{-5}+0{,}01=0{,}01008302\\ \text{dia}^{-1}.
Logo
T_{1/2,\text{ef}}=\frac{1}{0{,}01008302}\approx 99{,}18\\ \text{dias}\approx 0{,}272\\ \text{anos}.
Interpretação: como a meia-vida biológica é muito menor que a física, a meia-vida efetiva fica muito próxima de 100\\ \text{dias} (ligeiramente menor).

Passo 6

Explicação extra (útil para provas): quantas desintegrações ocorrem “no organismo” antes da remoção biológica?
  • Probabilidade de um átomo decair antes de ser removido biologicamente é
p=\frac{\lambda_{\text{fís}}}{\lambda_{\text{fís}}+\lambda_{\text{bio}}}.íí
Calculo rápido das constantes em dias ^{-1}:
\lambda_{\text{fís}}=\frac{\ln2}{12045}\approx 5{,}753\times10^{-5}\\ \text{dia}^{-1}, \qquad \lambda_{\text{bio}}=\frac{\ln2}{100}=6{,}931\times10^{-3}\\ \text{dia}^{-1}.í
Portanto
p\approx\frac{5{,}753\times10^{-5}}{5{,}753\times10^{-5}+6{,}931\times10^{-3}}\approx 0{,}008234.
Ou seja, cerca de 0{,}823\% dos átomos vão decair no organismo antes de serem excretados. O número de desintegrações ocorridas no organismo seria
N_{\text{dec, organismo}}=p\,N_0\approx 0{,}008234\times 8{,}35\times10^{22}\approx 6{,}88\times10^{20}.
Nota: isto é um cálculo complementar para entendimento prático do efeito da meia-vida biológica.

Passo 7

Observação sobre o número total de desintegrações da fonte: se considerarmos a amostra por completo no sentido “ao longo de todo o tempo, até que todos os núcleos tenham decaído”, cada átomo decai uma vez, logo o número total de desintegrações que eventualmente ocorrerão (no universo, independente de remoção biológica) é simplesmente N_0 calculado no Passo 2.

Resposta

(a) A\approx 5{,}57\times10^{13}\\ \mathrm{Bq} \left(\approx 1{,}50\times10^{3}\\ \mathrm{Ci}\right)
(b) T_{1/2,\text{ef}}\approx 99{,}18\\ \text{dias} \left(\approx 0{,}272\\ \text{anos}\right)
(c) N_{\text{total}} \approx 8{,}35\times10^{22}\\ \text{desintegrações (cada átomo decai uma vez)}çõá

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