Sabendo que a meia-vida física do { }^{177} \mathrm{Lu} vale 6,647 dias, (a) quanto vale a sua constante de decaimento em s^{-1} ? (b) qual será o valor da atividade se a amostra radioativa tem 1 \times 10^{20} átomos radioativos? (c) Em 12 meses a atividade desta amostra foi reduzida em quanto? (d) Quanto vale o número total de desintegrações desta fonte?

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Dado: a meia-vida do {}^{177}\mathrm{Lu} é \,T_{1/2}=6,647\\ \text{dias}.
  • Dado: a amostra contém N_0=1\times10^{20} átomos radioativos no instante inicial.
  • Perguntas:
    (a) calcular a constante de decaimento \lambda em \text{s}^{-1};
    (b) calcular a atividade inicial A_0 da amostra com N_0=1\times10^{20} átomos;
    (c) em 12 meses, em quanto a atividade foi reduzida (quantificar a redução);
    (d) calcular o número total de desintegrações desta fonte (no longo prazo).
  • Observação/pressuposição (necessária para (c)): vou assumir que 12 meses = 1 ano = 365 dias (se a sua prova usar outra convenção para mês, o procedimento é o mesmo; muda só o valor numérico do tempo).

Passo 2

Lembrete das fórmulas fundamentais (explicando como e por que elas valem):
  • A decaída radioativa é descrita por N(t)=N_0 e^{-\lambda t}, onde:
    • N(t) é o número de núcleos no tempo t,
    • N_0 é o número inicial de núcleos,
    • \lambda é a constante de decaimento (unidade \text{s}^{-1}),
    • t é o tempo (em segundos se \lambda estiver em \text{s}^{-1}).
      Essa equação significa que a taxa de variação de N é proporcional a N com constante -\lambda, ou seja \dfrac{dN}{dt}=-\lambda N.
  • A meia-vida T_{1/2} é o tempo no qual N é reduzido a metade: N(T_{1/2})=N_0/2. Usando N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}=N_0/2 obtemos a relação \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}.Aqui \ln 2 é o logaritmo natural de 2 (aprox. 0,693147).
  • A atividade instantânea A(t) (número de desintegrações por segundo, unidade Bq) é A(t)=\lambda N(t).Em particular, a atividade inicial A_0=\lambda N_0.
  • Para manipular \lambda em \text{s}^{-1}, é preciso colocar T_{1/2} em segundos. Temos a conversão: 1\\ \text{dia}=24\times3600=86400\\ \text{s}.

Passo 3

Converter T_{1/2} de dias para segundos e calcular \lambda.
  • Converter: T_{1/2}=6,647\\ \text{dias}=6,647\times86400\\ \text{s}=574300,8\\ \text{s}.(faça essa conta na prova multiplicando 6,647 por 86400; eu desenvolvi: 6\times86400=518400 e 0,647\times86400=55900,8, somando dá 574300,8 s).
  • Calcular \lambda: \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0,693147\ldots}{574300,8\\ \text{s}}\approx 1,2069\times10^{-6}\\ \text{s}^{-1}.Interpretação: em média cada núcleo tem probabilidade \lambda por segundo de se desintegrar.

Passo 4

Calcular a atividade inicial A_0 com N_0=1\times10^{20}.
  • Fórmula: A_0=\lambda N_0.
  • Substituindo: A_0=(1,2069\times10^{-6}\\ \text{s}^{-1})\times(1\times10^{20})=1,2069\times10^{14}\\ \text{s}^{-1}.
  • Interpretação: A_0=1,2069\times10^{14}\\ \text{Bq} (Becquerel = desintegrações por segundo). Na prova, apresente a atividade com a unidade Bq ou \text{s}^{-1}.

Passo 5

Calcular a redução da atividade após 12 meses (assumidos 365 dias).
  • Primeiro converter o tempo: t=365\\ \text{dias}=365\times86400\\ \text{s}=31536000\\ \text{s}.
  • A atividade no tempo t é A(t)=A_0 e^{-\lambda t}. Então a fração que resta é \frac{A(t)}{A_0}=e^{-\lambda t}.
  • Calcular o expoente: \lambda t=(1,2069\times10^{-6}\\ \text{s}^{-1})\times(31536000\\ \text{s})\approx 38,0602.
  • Portanto \frac{A(t)}{A_0}=e^{-38,0602}\approx 2,919\times10^{-17}.Isso significa que a atividade remanescente é cerca de 2,919\times10^{-17} vezes a atividade inicial.
  • A atividade numérica após 12 meses: A(12\\ \text{meses})=A_0 e^{-\lambda t}=(1,2069\times10^{14})\times(2,919\times10^{-17})\approx 3,523\times10^{-3}\\ \text{Bq}.
  • A redução percentual da atividade é \text{redução} =\bigl(1-e^{-\lambda t}\bigr)\times100\%\approx\bigl(1-2,919\times10^{-17}\bigr)\times100\%\approx 99{,}999999999999997\%.çãEm palavras: praticamente toda a atividade desapareceu em 12 meses — resta apenas uma fração da ordem de 10^{-17} da original (ou a atividade caiu por um fator de aproximadamente 3,425\times10^{16}).

Passo 6

Calcular o número total de desintegrações da fonte (no limite de tempo infinito).
  • A taxa de desintegração é A(t)=\lambda N_0 e^{-\lambda t}. O número total de desintegrações no intervalo t\in[0,\infty) é a integral temporal da atividade: \text{Total}=\int_{0}^{\infty} A(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}\lambda N_0 e^{-\lambda t}\,dt.
  • Essa integral é direta: \int_{0}^{\infty}\lambda N_0 e^{-\lambda t}\,dt=\lambda N_0\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}\right]_{0}^{\infty}=N_0.
  • Interpretação física simples: cada um dos N_0 núcleos vai desintegrar-se exatamente uma vez ao longo do tempo infinito, logo o total de desintegrações é N_0.

Resposta

(a) \lambda=1,2069\times10^{-6}\\ \text{s}^{-1}
(b) A_0=\lambda N_0=1,2069\times10^{14}\\ \text{Bq}
(c) Após 12 meses: A(12\\ \text{meses})\approx3,523\times10^{-3}\\ \text{Bq} (isto é, resta \approx2,919\times10^{-17} do valor inicial) → redução \approx99{,}999999999999997\%.
(d) Número total de desintegrações (no limite t\to\infty): 1\times10^{20} desintegrações.

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