Sabendo que a meia-vida física do
vale 6,647 dias, (a) quanto vale a sua constante de decaimento em
? (b) qual será o valor da atividade se a amostra radioativa tem
átomos radioativos? (c) Em 12 meses a atividade desta amostra foi reduzida em quanto? (d) Quanto vale o número total de desintegrações desta fonte?
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte:
- Dado: a meia-vida do
é . - Dado: a amostra contém
átomos radioativos no instante inicial. - Perguntas:
(a) calcular a constante de decaimentoem ;
(b) calcular a atividade inicialda amostra com átomos;
(c) em 12 meses, em quanto a atividade foi reduzida (quantificar a redução);
(d) calcular o número total de desintegrações desta fonte (no longo prazo). - Observação/pressuposição (necessária para (c)): vou assumir que 12 meses = 1 ano =
dias (se a sua prova usar outra convenção para mês, o procedimento é o mesmo; muda só o valor numérico do tempo).
Passo 2
Lembrete das fórmulas fundamentais (explicando como e por que elas valem):
- A decaída radioativa é descrita por
, onde: -
é o número de núcleos no tempo , -
é o número inicial de núcleos, -
é a constante de decaimento (unidade ), -
é o tempo (em segundos se estiver em ).
Essa equação significa que a taxa de variação deé proporcional a com constante , ou seja .
-
- A meia-vida
é o tempo no qual é reduzido a metade: . Usando obtemos a relação Aqui é o logaritmo natural de (aprox. ). - A atividade instantânea
(número de desintegrações por segundo, unidade Bq) é Em particular, a atividade inicial . - Para manipular
em , é preciso colocar em segundos. Temos a conversão:
Passo 3
Converter
de dias para segundos e calcular
.
- Converter:
(faça essa conta na prova multiplicando por ; eu desenvolvi: e , somando dá s). - Calcular
: Interpretação: em média cada núcleo tem probabilidade por segundo de se desintegrar.
Passo 4
Calcular a atividade inicial
com
.
- Fórmula:
. - Substituindo:
- Interpretação:
(Becquerel = desintegrações por segundo). Na prova, apresente a atividade com a unidade Bq ou .
Passo 5
Calcular a redução da atividade após 12 meses (assumidos
dias).
- Primeiro converter o tempo:
- A atividade no tempo
é . Então a fração que resta é - Calcular o expoente:
- Portanto
Isso significa que a atividade remanescente é cerca de vezes a atividade inicial. - A atividade numérica após 12 meses:
- A redução percentual da atividade é
Em palavras: praticamente toda a atividade desapareceu em 12 meses — resta apenas uma fração da ordem de da original (ou a atividade caiu por um fator de aproximadamente ).
Passo 6
Calcular o número total de desintegrações da fonte (no limite de tempo infinito).
- A taxa de desintegração é
. O número total de desintegrações no intervalo é a integral temporal da atividade: - Essa integral é direta:
- Interpretação física simples: cada um dos
núcleos vai desintegrar-se exatamente uma vez ao longo do tempo infinito, logo o total de desintegrações é .
Resposta
(a)
(b)
(c) Após 12 meses: (isto é, resta
do valor inicial) → redução
.
(d) Número total de desintegrações (no limite ):
desintegrações.
(b)
(c) Após 12 meses:
(d) Número total de desintegrações (no limite