Crie uma tabela de FD(t) para o { }^{177} \mathrm{Lu}, considerando o intervalo de tempo também de 0 horas até 3 horas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:
  • Pede uma tabela de FD(t) para o radionuclídeo {}^{177}\mathrm{Lu} no intervalo de tempo de 0 horas até 3 horas.
  • Informação necessária que não foi fornecida no enunciado, mas é um dado físico conhecido: a meia-vida do {}^{177}\mathrm{Lu} é \,T_{1/2}=6,647\\ \text{dias}. Vou usar esse valor para calcular o fator de decaimento.
  • Portanto, eu vou calcular FD(t) para t=0,1,2,3\\ \text{h} (horas) usando a lei do decaimento radioativo.

Passo 2

Definição do que é FD(t) e fórmula usada:
  • O fator de decaimento FD(t) que vamos usar é a fração de núcleos que permanece no tempo t. Pela lei do decaimento exponencial,
FD(t)=e^{-\lambda t},
onde \lambda é a constante de decaimento (unidade: \text{h}^{-1}) e t é o tempo em horas.
  • A constante \lambda relaciona-se com a meia-vida por
\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}.
Aqui \ln 2 é o logaritmo natural de 2 (aproximadamente 0,693147\ldots) e T_{1/2} deve estar na mesma unidade de tempo de t (por isso converto T_{1/2} para horas).

Passo 3

Converter a meia-vida para horas e calcular \lambda:
  • Converter T_{1/2} para horas (peguei o valor de T_{1/2} na literatura):
T_{1/2}=6,647\\ \text{dias}=6,647\times 24\\ \text{h}=159,528\\ \text{h}.
  • Calcular \lambda:
\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0,69314718056}{159,528}\approx 0,004345\\ \text{h}^{-1}.
Vou usar \lambda\approx 0,004345\\ \text{h}^{-1} (truncado/arreondado no quinto algarismo significativo) nas contas seguintes.

Passo 4

Como calcular FD(t) sem calculadora (dica prática) e cálculo efetivo:
  • Para tempos curtos (como algumas horas) a exponencial pode ser avaliada com uma expansão em série: para x pequeno,
e^{-x}\approx 1 - x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{6} + \cdots.
Aqui x=\lambda t. Para os valores de t entre 0 e 3\\ \text{h}, x é pequeno (ordem de 10^{-2}), então os primeiros termos já dão boa precisão.
  • Vou calcular FD(t)=e^{-\lambda t} para t=0,1,2,3\\ \text{h} usando a expansão até o termo em x^{2} (o termo x^{3}/6 é já muito pequeno e será considerado negligenciável para os dígitos que eu apresento).
Cálculos:
  • Para t=0\\ \text{h}:
\lambda t=0,\qquad FD(0)=e^{0}=1.
  • Para t=1\\ \text{h}:
x=\lambda\cdot 1\approx 0,004345.
Usando a série:
FD(1)\approx 1 - 0,004345 + \frac{(0,004345)^{2}}{2}.
Calcular os termos:
(0,004345)^{2}=0,000018883,\qquad \frac{(0,004345)^{2}}{2}=0,0000094415.
Logo
FD(1)\approx 1 - 0,004345 + 0,0000094415 \approx 0,9956644.
  • Para t=2\\ \text{h}:
x=\lambda\cdot 2\approx 0,008690.
(0,008690)^{2}=0,00007553,\qquad \frac{(0,008690)^{2}}{2}=0,000037765.
FD(2)\approx 1 - 0,008690 + 0,000037765 \approx 0,9913478.
  • Para t=3\\ \text{h}:
x=\lambda\cdot 3\approx 0,013035.
(0,013035)^{2}=0,000169911,\qquad \frac{(0,013035)^{2}}{2}=0,0000849555.
FD(3)\approx 1 - 0,013035 + 0,0000849555 \approx 0,9870496.
Observação prática: para checar rapidamente, pode-se também usar a aproximação linear FD(t)\approx 1-\lambda t quando se aceita menos precisão; aqui a correção do termo quadrático é da ordem de 10^{-5} 10^{-4}, pequena mas visível se quiser 5–6 casas decimais.

Passo 5

Preparação dos valores finais com notação de fração e porcentagem (arredondei para 6 casas decimais na fração e 4 casas decimais na porcentagem para leitura fácil):
  • FD(0)=1,000000 (ou 100,0000\%)
  • FD(1)\approx 0,995664 (ou 99,5664\%)
  • FD(2)\approx 0,991348 (ou 99,1348\%)
  • FD(3)\approx 0,987050 (ou 98,7050\%)

Resposta

t (h) \quad FD(t)=e^{-\lambda t} \quad % restante\n
0\\ \text{h}\quad FD(0)=1,000000 \quad 100,0000\%\n
1\\ \text{h}\quad FD(1)\approx 0,995664 \quad 99,5664\%\n
2\\ \text{h}\quad FD(2)\approx 0,991348 \quad 99,1348\%\n
3\\ \text{h}\quad FD(3)\approx 0,987050 \quad 98,7050\%

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