ATIVIDADE AVALIATIVA 2 - CALCU2
Determine o fluxo de F através de S onde
F(x, y, z)=(3 x-z) i+(7 y-x) j+(24 z-y) k
S é a superfície do cilindro x^2+y^2=9, z=0 e z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial F através da superfície S, que é um cilindro com equação x^2 + y^2 = 9, entre as alturas z = 0 e z = 1. Para isso, vamos usar o conceito de fluxo em cálculo vetorial, que basicamente mede a quantidade de campo que atravessa uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. O cilindro dado por x^2 + y^2 = 9 tem raio 3, e está limitado pelas bases nos planos z = 0 e z = 1. Assim, nossa superfície S é composta por três partes:
  1. A lateral do cilindro.
  2. A base inferior ( z = 0).
  3. A base superior ( z = 1).

Passo 3

Para calcular o fluxo através de toda a superfície S, podemos usar o teorema da divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo dentro do volume limitado por essa superfície. A fórmula do teorema da divergência é:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Onde nabla cdot F é a divergência de F.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F(x, y, z) = (3x - z) i + (7y - x) j + (24z - y) k. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partialpartial x(3x - z) + partialpartial y(7y - x) + partialpartial z(24z - y)
Calculando cada derivada:
partialpartial x(3x - z) = 3
partialpartial y(7y - x) = 7
partialpartial z(24z - y) = 24
Então,
nabla cdot F = 3 + 7 + 24 = 34

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume V do cilindro. Como a divergência é constante (34), a integral fica:
integral triplaV 34 , dV = 34 times Volume de V
O volume de um cilindro é dado por:
Volume = pi r^2 h
Onde r = 3 e h = 1.
Volume = pi times 3^2 times 1 = 9pi
Então,
integral triplaV 34 , dV = 34 times 9pi = 306pi

Passo 6

Segundo o teorema da divergência, esse valor é igual ao fluxo do campo F através da superfície S. Portanto,
integral duplaS F cdot n , dS = 306pi

Resposta

O fluxo de F através de S é 306pi.

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