ATIVIDADE AVALIATIVA
-
Determine o fluxo de
através de
onde
é a superfície do cilindro
e
.
Determine o fluxo de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é um cilindro com equação
, entre as alturas
e
. Para isso, vamos usar o conceito de fluxo em cálculo vetorial, que basicamente mede a quantidade de campo que atravessa uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. O cilindro dado por
tem raio 3, e está limitado pelas bases nos planos
e
. Assim, nossa superfície
é composta por três partes:
- A lateral do cilindro.
- A base inferior (
). - A base superior (
).
Passo 3
Para calcular o fluxo através de toda a superfície
, podemos usar o teorema da divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo dentro do volume limitado por essa superfície. A fórmula do teorema da divergência é:
Onde
é a divergência de
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume
do cilindro. Como a divergência é constante (34), a integral fica:
O volume de um cilindro é dado por:
Onde
e
.
Então,
Passo 6
Segundo o teorema da divergência, esse valor é igual ao fluxo do campo
através da superfície
. Portanto,
Resposta
O fluxo de
através de
é
.