ATIVIDADE AVALIATIVA
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Use o Teorema de Green para calcular
onde
é a fronteira da região entre os círculos
e
Use o Teorema de Green para calcular
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
. A curva
é a fronteira da região entre os círculos
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre uma região no plano. Vamos precisar identificar os componentes da nossa função vetorial
e calcular algumas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma função vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
pode ser transformada em uma integral dupla sobre a região
limitada por
:
Aqui,
é a componente em
da função vetorial, e
é a componente em
.
Passo 3
Vamos identificar
e
da nossa função
:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
(since
não depende de
).
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Agora, vamos parametrizar a região
. Como
está entre dois círculos concêntricos de raios 1 e 2, é mais fácil usar coordenadas polares.
Passo 6
Em coordenadas polares,
e
. A área elementar
em coordenadas polares é
. Vamos substituir
e
:
Fatorando
:
Portanto, a integral dupla fica:
Os limites de integração para
são de 1 a 2, e para
de 0 a
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Primeiro, integrando em
:
Agora, integrando em
:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.