ATIVIDADE AVALIATIVA 2 - CALCU2
Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r onde
F(x, y)=(x cos (12 x), x^4+2 x^2 y^2)
C é a fronteira da região entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde F(x, y) = (x cos (12 x), x^4 + 2 x^2 y^2). A curva C é a fronteira da região entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre uma região no plano. Vamos precisar identificar os componentes da nossa função vetorial F e calcular algumas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma função vetorial F = (M, N), a integral de linha ao redor de uma curva fechada C pode ser transformada em uma integral dupla sobre a região D limitada por C:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dA
Aqui, M é a componente em x da função vetorial, e N é a componente em y.

Passo 3

Vamos identificar M e N da nossa função F:
M(x, y) = x cos(12x)
N(x, y) = x^4 + 2x^2 y^2
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais partial Npartial x e partial Mpartial y.

Passo 4

Calculando partial Npartial x:
partial Npartial x = partialpartial x ( x^4 + 2x^2 y^2 ) = 4x^3 + 4x y^2
E calculando partial Mpartial y:
partial Mpartial y = partialpartial y ( x cos(12x) ) = 0
(since M não depende de y).

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( 4x^3 + 4x y^2 - 0 ) dA = integral duplaD ( 4x^3 + 4x y^2 ) dA
Agora, vamos parametrizar a região D. Como D está entre dois círculos concêntricos de raios 1 e 2, é mais fácil usar coordenadas polares.

Passo 6

Em coordenadas polares, x = r costheta e y = r sintheta. A área elementar dA em coordenadas polares é r dr dtheta. Vamos substituir x e y:
4x^3 + 4x y^2 = 4(r costheta)^3 + 4(r costheta)(r sintheta)^2 = 4r^3 cos^3theta + 4r^3 costheta sin^2theta
Fatorando 4r^3 costheta:
4r^3 costheta (cos^2theta + sin^2theta) = 4r^3 costheta (1) = 4r^3 costheta
Portanto, a integral dupla fica:
integral duplaD 4r^3 costheta cdot r dr dtheta = integral duplaD 4r^4 costheta dr dtheta
Os limites de integração para r são de 1 a 2, e para theta de 0 a 2pi.

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^2pi integral1^2 4r^4 costheta dr dtheta
Primeiro, integrando em r:
integral1^2 4r^4 dr = 4 [ r^55 ]1^2 = 4 ( 325 - 15 ) = 4 cdot 315 = 1245
Agora, integrando em theta:
1245 integral0^2pi costheta dtheta = 1245 [ sintheta ]0^2pi = 1245 (0 - 0) = 0

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r é igual a 0.

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