(2,5) Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r onde
F(x, y)=(x cos (3 x), x^4+2 x^2 y^2)
C é a fronteira da região entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! O problema pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde F(x, y) = (x cos (3x), x^4 + 2x^2 y^2). A curva C é a fronteira da região entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo a essa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D delimitada por C. A fórmula do teorema é:
ointC F cdot d r = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde F = (P, Q).

Passo 3

Vamos identificar P e Q na nossa função F:
P(x, y) = x cos(3x) Q(x, y) = x^4 + 2x^2 y^2
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 4

Calculando partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^4 + 2x^2 y^2) = 4x^3 + 4x y^2
Calculando partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y (x cos(3x)) = 0

Passo 5

Substituindo esses resultados na fórmula do Teorema de Green:
ointC F cdot d r = integral duplaD (4x^3 + 4x y^2 - 0) dA = integral duplaD (4x^3 + 4x y^2) dA

Passo 6

Agora, vamos descrever a região D. Ela é a área entre os círculos x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta. O diferencial de área em coordenadas polares é dA = r , dr , dtheta.

Passo 7

Expressando 4x^3 + 4x y^2 em coordenadas polares:
4x^3 = 4(r cos theta)^3 = 4r^3 cos^3 theta 4x y^2 = 4(r cos theta)(r sin theta)^2 = 4r^3 cos theta sin^2 theta
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD (4r^3 cos^3 theta + 4r^3 cos theta sin^2 theta) r , dr , dtheta = integral duplaD 4r^4 cos theta (cos^2 theta + sin^2 theta) dr , dtheta
Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então:
integral duplaD 4r^4 cos theta , dr , dtheta

Passo 8

Agora, determinamos os limites de integração. r varia de 1 a 2 (já que está entre os círculos de raio 1 e 2) e theta varia de 0 a 2pi:
integral0^2pi integral1^2 4r^4 cos theta , dr , dtheta

Passo 9

Vamos primeiro integrar em relação a r:
integral1^2 4r^4 , dr = 4 [ r^55 ]1^2 = 4 ( 325 - 15 ) = 4 ( 315 ) = 1245
Então, a integral fica:
1245 integral0^2pi cos theta , dtheta

Passo 10

Agora, integramos cos theta de 0 a 2pi:
integral0^2pi cos theta , dtheta = [ sin theta ]0^2pi = sin(2pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0

Resposta

Portanto, integralC F cdot d r = 0.

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