Use o Teorema de Green para calcular
onde
é a fronteira da região entre os círculos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! O problema pede para calcular a integral de linha
, onde
. A curva
é a fronteira da região entre os círculos
e
. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo a essa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula do teorema é:
onde
.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa função
:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Substituindo esses resultados na fórmula do Teorema de Green:
Passo 6
Agora, vamos descrever a região
. Ela é a área entre os círculos
e
. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. O diferencial de área em coordenadas polares é
.
Passo 7
Expressando
em coordenadas polares:
Então, a integral dupla fica:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Agora, determinamos os limites de integração.
varia de 1 a 2 (já que está entre os círculos de raio 1 e 2) e
varia de 0 a
:
Passo 9
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 10
Agora, integramos
de 0 a
:
Resposta
Portanto,
.