(Espcex (Aman) 2024) Um depósito de munições no formato retangular será construido em um campo de instrução do Exército Brasileiro. A planta da construção prevê que esse retângulo esteja inscrito em uma área cujo formato é de um triângulo isósceles de base 24 m e altura 16 m . A área máxima đo depósito que atende a essas condiçōes é igual a:
a) 32 m^2
b) 48 m^2
c) 64 m^2
d) 72 m^2
e) 96 m^2

Passo 1

O enunciado pede o retângulo de maior área inscrito em um triângulo isósceles de base 24 m e altura 16 m, então vamos usar semelhança de triângulos para relacionar a base e altura do retângulo e depois aplicar cálculo (derivada) para maximizar a área.

Passo 2

Seja a altura do retângulo inscrito igual a y. A cada elevação y, a metade da base do triângulo original (que vale 12 m) diminui proporcionalmente: pela semelhança,
meia-base do retângulo12=1-y16â
Logo a base do retângulo é
b=2timesl(12(1-tfracy16)r)=24-tfrac32y

Passo 3

A área em função de y fica
A(y)=b,y=yl(24-1.5yr)=24y-1.5y^2

Passo 4

Derivando para maximizar:
A'(y)=24-3y=0implies y=8,(m)

Passo 5

Com y=8 m, a base do retângulo é b=24-1.5cdot8=12 m, e então
Amax=12times8=96,(m^2)

Resposta

96 m²

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