Atividade 3. Se C é descrito por z(t)=t+t^2 i, calcule integral0^1+i z^2 d z.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha integral0^1+i z^2,dz ao longo da curva C dada por z(t)=t + i,t^2, com t variando de 0 a 1. O conteúdo é integral de função complexa e vamos usar o fato de que, por ser holomorfa, f(z)=z^2 possui primitiva.

Passo 2

Como f(z)=z^2 é uma função inteira (holomorfa em todo C), ela admite primitiva F(z)=tfracz^33. Teorema: se uma função tem primitiva num domínio, a integral de linha independe do caminho e vale F(zrm fim) - F(zrm ini). Logo podemos escrever
integralC z^2,dz = F(1+i) - F(0) = (1+i)^33 - 0

Passo 3

Basta agora expandir (1+i)^3. Calculamos primeiro (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i, e em seguida
(1+i)^3 = (1+i)^2(1+i) = 2i(1+i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i

Passo 4

Portanto
integral0^1+i z^2,dz = -2 + 2i3 = -23 + 23,i

Resposta

-\tfrac{2}{3} + \tfrac{2}{3}i

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