Determine uma vizinhança de x=-1, tal que a função f(x)=-3 x+7 esteja em (9,5 ; 10,5).

Passo 1

O enunciado pede: para a função f(x)=-3x+7 e o ponto x0=-1, encontrar uma vizinhança de x0 tal que f(x) fique dentro do intervalo (9,5;10,5). O conteúdo aqui é o uso da continuidade de uma função linear e da definição de vizinhança: dado varepsilon>0, achar de<a>0 tal que
|x - x0| < de<a Longrightarrow |f(x) - f(x0)| < varepsilon

Passo 2

Calculamos o valor de f em x0=-1.
f(-1) = -3cdot(-1) + 7 = 3 + 7 = 10

Passo 3

Queremos que f(x)in(9,5;10,5). Isso equivale a escolher
varepsilon = 0,5
e impor
|f(x) - f(-1)| < 0,5
Substituindo f(x)=-3x+7 e f(-1)=10:
l|-3x+7 - 10r| < 0,5 Longrightarrow l|-3x - 3r| < 0,5 Longrightarrow 3,|x+1| < 0,5 Longrightarrow |x+1| < 0,53 = 16

Passo 4

Concluímos que basta escolher
de<a = 16
para garantir f(x)in(9,5;10,5) sempre que |x+1|<de<a. Assim, uma vizinhança de x=-1 é o intervalo aberto
l(-1-tfrac16,,-1+tfrac16r) = l(-tfrac76,,-tfrac56r)

Resposta

Uma vizinhança de x=-1 é
l(-tfrac76,,-tfrac56r),
pois para todo x nesse intervalo temos f(x)in(9,5;10,5).

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