Um ponto P move-se sobre a elipse 4 x^2+y^2=1. Sabe-se que as coordenadas x(t) e y(t) de P são funções definidas e deriváveis num intervalo I. Verifique que
d yd x=-4 xy d xd t
em todo t in I, com y(t) neq 0.

Passo 1

A questão trata de um ponto P(t) = (x(t),y(t)) que se move sobre a elipse 4x² + y² = 1. O conteúdo é diferenciação implícita usando regra da cadeia para funções x(t) e y(t).

Passo 2

Começamos lembrando que, ao diferenciar implicitamente uma equação F(x,y)=0 em relação a t, vale:
Fx,dfracdxdt + Fy,dfracdydt = 0

Passo 3

Aqui temos F(x,y)=4x^2 + y^2 -1. Logo as derivadas parciais são F_x = 8x e F_y = 2y. Substituindo na fórmula da cadeia:
8x,dfracdxdt + 2y,dfracdydt = 0

Passo 4

Isolando dy/dt:
2y,dfracdydt = -8x,dfracdxdt Longrightarrow dfracdydt = -dfrac8x2y,dfracdxdt = -dfrac4xy,dfracdxdt

Passo 5

Portanto, para todo t com y(t)≠0, obtemos exatamente a relação desejada.

Resposta

dydt = -4xy,dxdt.

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