Um ponto
move-se sobre a elipse
. Sabe-se que as coordenadas
e
de
são funções definidas e deriváveis num intervalo
. Verifique que
em todo
.
Passo 1
A questão trata de um ponto P(t) = (x(t),y(t)) que se move sobre a elipse 4x² + y² = 1. O conteúdo é diferenciação implícita usando regra da cadeia para funções x(t) e y(t).
Passo 2
Começamos lembrando que, ao diferenciar implicitamente uma equação F(x,y)=0 em relação a t, vale:
Passo 3
Aqui temos F(x,y)=4x^2 + y^2 -1. Logo as derivadas parciais são F_x = 8x e F_y = 2y. Substituindo na fórmula da cadeia:
Passo 4
Isolando
:
Passo 5
Portanto, para todo t com y(t)≠0, obtemos exatamente a relação desejada.