Seja V o volume fechado descrito por x^2+y^2 <= 1 e 0 <= z <= 4. Calcule o fluxo integral duplaS F cdot n d S do campo vetorial F=x y^2 imath+y z jmath+x^2 z k através de S=partial V. (Resposta: 10 pi.)

Passo 1

O enunciado dá um volume V limitado pelo cilindro x^2+y^2<=1 e pelos planos z=0 e z=4, e pede o fluxo de
F=x y^2,hatimath + y z,hatjmath + x^2z,hat k
pela superfície fechada S=partial V.
O conteúdo aqui é o Teorema da Divergência, que nos diz que
integral duplaSFcdothat n,dS =integral triplaVl(nablacdotFr),dV

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
nablacdotF =partialpartial x(x y^2) +partialpartial y(y z) +partialpartial z(x^2z) =y^2+z+x^2

Passo 3

Para integrar em V usamos coordenadas cilíndricas ;(r,theta,z), onde
,x=rcostheta,;y=rsintheta, e o jacobiano é r.
No cilindro 0<= r<=1,;0<=theta<=2pi,;0<= z<=4.
Então
integral triplaV(x^2+y^2+z),dV =integral0^2pi!integral0^1!integral0^4l(r^2+zr),r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integral0^4(r^2+z),r,dz =rintegral0^4r^2,dz + rintegral0^4z,dz =4r^3+rcdot4^22 =4r^3+8r

Passo 5

Agora integramos em r e theta:
integral0^2pi!integral0^1(4r^3+8r),dr,dtheta =integral0^2pil[;4cdotr^44+8cdotr^22r]0^1dtheta =integral0^2pi(1+4),dtheta =5cdot2pi =10pi

Resposta

O fluxo é 10pi.

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