ATIVIDADE: Dada a função
f(x)=-2 x^{3}+6 x^{2}-3
determine utilizando derivadas os intervalos onde a função é crescente e decrescente, as concavidades, pontos de inflexão e pontos de máximos e mínimos locais.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=-2x^{3}+6x^{2}-3
e pede que sejam determinados:
  • os intervalos onde f é crescente e decrescente;
  • as concavidades (onde é côncava para cima e para baixo);
  • os pontos de inflexão;
  • os pontos de máximos e mínimos locais.
Informações relevantes dadas:
  • A função é um polinômio definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • Não há restrições adicionais no enunciado.
A partir daqui vamos calcular derivadas, usá‑las para estudar monotonicidade e concavidade, identificar pontos críticos e pontos de inflexão.

Passo 2

Entendendo por que usamos derivadas:
  • A derivada primeira f'(x) mede a taxa de variação instantânea de f. Se f'(x)>0 em um intervalo, a função sobe ali (é crescente). Se f'(x)<0, a função desce (é decrescente).
  • A derivada segunda f''(x) mede a curvatura: se f''(x)>0 a curva é côncava para cima (como uma taça); se f''(x)<0 é côncava para baixo.
Agora calculamos a derivada primeira explicitamente. Derivando termo a termo:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-2x^{3}+6x^{2}-3\bigr) = -6x^{2}+12x.

Passo 3

Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0. Colocando a derivada em fatorada:
f'(x) = -6x^{2}+12x = -6x(x-2).
Então
-6x(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=2.
Esses são os pontos onde a derivada se anula (candidatos a máximos/mínimos) ou onde a derivada pode não existir (aqui não há esse caso).

Passo 4

Análise de sinal de f'(x) para determinar monotonicidade. Usamos os pontos críticos para dividir a reta em intervalos: (-\infty,0), (0,2), (2,\infty). Em cada intervalo verificamos o sinal de f'(x)=-6x(x-2).
  • Para x<0: x é negativo e (x-2) é negativo, então x(x-2)>0. Multiplicando por -6 (negativo) dá f'(x)<0. Logo f é decrescente em (-\infty,0).
  • Para 0<x<2: x>0 e (x-2)<0, então x(x-2)<0. Multiplicando por -6 f'(x)>0. Logo f é crescente em (0,2).
  • Para x>2: x>0 e (x-2)>0, então x(x-2)>0. Multiplicando por -6 f'(x)<0. Logo f é decrescente em (2,\infty).
Portanto:
  • f é crescente em (0,2).
  • f é decrescente em (-\infty,0) e em (2,\infty).

Passo 5

Cálculo da derivada segunda e interpretação:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(f'(x)\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(-6x^{2}+12x\bigr)=-12x+12.
Podemos escrever também
f''(x)=12(1-x).
Lembrando: f''(x)>0 indica concavidade para cima; f''(x)<0 indica concavidade para baixo. Zeros de f'' são candidatos a pontos de inflexão.

Passo 6

Encontrar possíveis pontos de inflexão resolvendo f''(x)=0:
-12x+12=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Agora fazemos a análise de sinal de f'' nos intervalos (-\infty,1) e (1,\infty):
  • Para x<1 (por exemplo x=0): f''(0)=12>0. Logo f é côncava para cima em (-\infty,1).
  • Para x>1 (por exemplo x=2): f''(2)=-12<0. Logo f é côncava para baixo em (1,\infty).
Como a concavidade troca de cima para baixo em x=1 e a função é contínua, x=1 é um ponto de inflexão. Calculamos a ordenada correspondente:
f(1)=-2(1)^{3}+6(1)^{2}-3 = -2+6-3 = 1.
Portanto o ponto de inflexão é (1,1).

Passo 7

Classificação dos pontos críticos x=0 e x=2 (máximo/minimo local). Podemos usar duas abordagens equivalentes: mudança de sinal de f' ou teste da derivada segunda.
  • Pelo sinal de f': em x=0 a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita) — isso caracteriza um mínimo local. Em x=2 a derivada passa de positiva para negativa — isso caracteriza um máximo local.
  • Pelo teste da derivada segunda: calculamos f'' nos pontos críticos.
f''(0)=12>0 \quad\Rightarrow\quad \text{mínimo local em } x=0.í
f''(2)=-12<0 \quad\Rightarrow\quad \text{máximo local em } x=2.á
Agora as coordenadas:
f(0)=-3, \qquad f(2)=-2(8)+6(4)-3=-16+24-3=5.
Logo:
  • mínimo local em (0,-3);
  • máximo local em (2,5).

Passo 8

Resumo final (para decorar/consultar rápido). Resultados já calculados e explicados passo a passo: monotonicidade via f', concavidade e inflexão via f'', classificação dos extremos por mudança de sinal de f' ou pelo sinal de f''.
Força aí — rever rapidamente as etapas desta resolução ajuda muito para resolver perguntas parecidas na prova: (1) calcule f' e resolva f'=0; (2) faça tabela de sinais de f' para monotonicidade; (3) calcule f'' e resolva f''=0 para concavidade/inflexões; (4) use f'' ou mudança de sinal de f' para classificar extremos.

Resposta

Crescente em (0,2)
Decrescente em (-\infty,0) e em (2,\infty)
Côncava para cima em (-\infty,1)
Côncava para baixo em (1,\infty)
Ponto de inflexão: (1,1)
Máximo local: (2,5)
Mínimo local: (0,-3)

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