ATIVIDADE: Dada a função
determine utilizando derivadas os intervalos onde a função é crescente e decrescente, as concavidades, pontos de inflexão e pontos de máximos e mínimos locais.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede que sejam determinados:
- os intervalos onde
é crescente e decrescente; - as concavidades (onde é côncava para cima e para baixo);
- os pontos de inflexão;
- os pontos de máximos e mínimos locais.
Informações relevantes dadas:
- A função é um polinômio definido para todo
. - Não há restrições adicionais no enunciado.
A partir daqui vamos calcular derivadas, usá‑las para estudar monotonicidade e concavidade, identificar pontos críticos e pontos de inflexão.
Passo 2
Entendendo por que usamos derivadas:
- A derivada primeira
mede a taxa de variação instantânea de . Se em um intervalo, a função sobe ali (é crescente). Se , a função desce (é decrescente). - A derivada segunda
mede a curvatura: se a curva é côncava para cima (como uma taça); se é côncava para baixo.
Agora calculamos a derivada primeira explicitamente. Derivando termo a termo:
Passo 3
Encontrar pontos críticos resolvendo
. Colocando a derivada em fatorada:
Então
Esses são os pontos onde a derivada se anula (candidatos a máximos/mínimos) ou onde a derivada pode não existir (aqui não há esse caso).
Passo 4
Análise de sinal de
para determinar monotonicidade. Usamos os pontos críticos para dividir a reta em intervalos:
,
,
. Em cada intervalo verificamos o sinal de
.
- Para
: é negativo e é negativo, então . Multiplicando por (negativo) dá . Logo é decrescente em . - Para
: e , então . Multiplicando por dá . Logo é crescente em . - Para
: e , então . Multiplicando por dá . Logo é decrescente em .
Portanto:
-
é crescente em . -
é decrescente em e em .
Passo 5
Cálculo da derivada segunda e interpretação:
Podemos escrever também
Lembrando:
indica concavidade para cima;
indica concavidade para baixo. Zeros de
são candidatos a pontos de inflexão.
Passo 6
Encontrar possíveis pontos de inflexão resolvendo
:
Agora fazemos a análise de sinal de
nos intervalos
e
:
- Para
(por exemplo ): . Logo é côncava para cima em . - Para
(por exemplo ): . Logo é côncava para baixo em .
Como a concavidade troca de cima para baixo em
e a função é contínua,
é um ponto de inflexão. Calculamos a ordenada correspondente:
Portanto o ponto de inflexão é
.
Passo 7
Classificação dos pontos críticos
e
(máximo/minimo local). Podemos usar duas abordagens equivalentes: mudança de sinal de
ou teste da derivada segunda.
- Pelo sinal de
: em a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita) — isso caracteriza um mínimo local. Em a derivada passa de positiva para negativa — isso caracteriza um máximo local. - Pelo teste da derivada segunda: calculamos
nos pontos críticos.
Agora as coordenadas:
Logo:
- mínimo local em
; - máximo local em
.
Passo 8
Resumo final (para decorar/consultar rápido). Resultados já calculados e explicados passo a passo: monotonicidade via
, concavidade e inflexão via
, classificação dos extremos por mudança de sinal de
ou pelo sinal de
.
Força aí — rever rapidamente as etapas desta resolução ajuda muito para resolver perguntas parecidas na prova: (1) calcule
e resolva
; (2) faça tabela de sinais de
para monotonicidade; (3) calcule
e resolva
para concavidade/inflexões; (4) use
ou mudança de sinal de
para classificar extremos.
Resposta
Crescente em
Decrescente em e em
Côncava para cima em
Côncava para baixo em
Ponto de inflexão:
Máximo local:
Mínimo local:
Decrescente em
Côncava para cima em
Côncava para baixo em
Ponto de inflexão:
Máximo local:
Mínimo local: