(2 pontos) Encontre a série de Taylor da função
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente: encontrar a série de Taylor de
centrada em
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Função:
. - Ponto de expansão:
.
O que se pede: apresentar a série de Taylor (soma em potências de) que representa em torno de .
Passo 2
Ideia estratégica (explicação didática): é útil escrever
como múltiplo de
para tirar uma potência conhecida fora da raiz cúbica. Definimos
ou seja
Então
Agora usamos a série binomial generalizada para expoentes fracionários: para
vale
onde o coeficiente binomial generalizado é definido por
para
e
. Aqui usaremos
.
Passo 3
Aplicando a série binomial com
e lembrando do fator
, obtemos a forma geral da série de Taylor centrada em
:
com raio de convergência dado por
, ou seja
Isso significa que a série representa
para
.
Passo 4
Vamos explicar e calcular explicitamente os primeiros coeficientes para ficar bem na mão (útil na prova). Calculamos
para
:
-
. -
Passo 5
Agora multiplicamos por
e substituímos
para obter os primeiros termos da série em potências de
.
- Termo
:
- Termo
:
- Termo
:
(Detalhe da simplificação:
.)
- Termo
:
onde
(o valor apresenta-se aqui como número inteiro do denominador).
Passo 6
Juntando os termos, a série de Taylor centrada em
fica:
ou, de forma compacta e geral,