(2 pontos) Encontre a série de Taylor da função f(x)=\sqrt[3]{x} no ponto a=64.

Passo 1

O enunciado pede explicitamente: encontrar a série de Taylor de f(x)=\sqrt[3]{x} centrada em a=64.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=x^{1/3}.
  • Ponto de expansão: a=64.
    O que se pede: apresentar a série de Taylor (soma em potências de x-64) que representa f em torno de 64.

Passo 2

Ideia estratégica (explicação didática): é útil escrever x como múltiplo de 64 para tirar uma potência conhecida fora da raiz cúbica. Definimos
t=\frac{x-64}{64},
ou seja
x=64(1+t).
Então
f(x)=\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{64(1+t)}=4\,(1+t)^{1/3}.
Agora usamos a série binomial generalizada para expoentes fracionários: para |t|<1 vale
(1+t)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^n,
onde o coeficiente binomial generalizado é definido por
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}
para n\ge1 e \binom{\alpha}{0}=1. Aqui usaremos \alpha=\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Aplicando a série binomial com \alpha=\tfrac{1}{3} e lembrando do fator 4, obtemos a forma geral da série de Taylor centrada em 64:
f(x)=4\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/3}{n}\left(\frac{x-64}{64}\right)^{n},
com raio de convergência dado por |t|<1, ou seja
|x-64|<64.
Isso significa que a série representa f(x) para x\in(0,128).

Passo 4

Vamos explicar e calcular explicitamente os primeiros coeficientes para ficar bem na mão (útil na prova). Calculamos \binom{1/3}{n} para n=0,1,2,3:
  • n=0: \binom{1/3}{0}=1.
  • n=1:
\binom{1/3}{1}=\frac{1}{3}.
  • n=2:
\binom{1/3}{2}=\frac{\tfrac{1}{3}\big(\tfrac{1}{3}-1\big)}{2} =\frac{\tfrac{1}{3}\cdot\big(-\tfrac{2}{3}\big)}{2} =\frac{-2}{9}\cdot\frac{1}{2} =-\frac{1}{9}.
  • n=3:
\binom{1/3}{3}=\frac{\tfrac{1}{3}\big(\tfrac{1}{3}-1\big)\big(\tfrac{1}{3}-2\big)}{3!} =\frac{\tfrac{1}{3}\cdot\big(-\tfrac{2}{3}\big)\cdot\big(-\tfrac{5}{3}\big)}{6} =\frac{10}{27}\cdot\frac{1}{6} =\frac{5}{81}.

Passo 5

Agora multiplicamos por 4 e substituímos t=(x-64)/64 para obter os primeiros termos da série em potências de x-64.
  • Termo n=0:
4\cdot 1 = 4.
  • Termo n=1:
4\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{x-64}{64} =\frac{4}{3}\cdot\frac{x-64}{64} =\frac{1}{48}(x-64).
  • Termo n=2:
4\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)\cdot\left(\frac{x-64}{64}\right)^2 =-\frac{4}{9}\cdot\frac{(x-64)^2}{64^2} =-\frac{1}{9216}(x-64)^2.
(Detalhe da simplificação: \dfrac{4}{9\cdot 64^2}=\dfrac{4}{9\cdot 4096}=\dfrac{1}{9\cdot 1024}=\dfrac{1}{9216}.)
  • Termo n=3:
4\cdot\frac{5}{81}\cdot\left(\frac{x-64}{64}\right)^3 =\frac{20}{81}\cdot\frac{(x-64)^3}{64^3} =\frac{5}{5\,308\,416}(x-64)^3,
onde 5\,308\,416=81\cdot 64^3/4 (o valor apresenta-se aqui como número inteiro do denominador).

Passo 6

Juntando os termos, a série de Taylor centrada em 64 fica:
\sqrt[3]{x}=4+\frac{1}{48}(x-64)-\frac{1}{9216}(x-64)^2+\frac{5}{5\,308\,416}(x-64)^3+\cdots,
ou, de forma compacta e geral,
\sqrt[3]{x}=4\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/3}{n}\left(\frac{x-64}{64}\right)^{n},\qquad |x-64|<64.

Resposta

\sqrt[3]{x}=4\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/3}{n}\left(\frac{x-64}{64}\right)^{n},\qquad |x-64|<64
\text{ou}\qquad \sqrt[3]{x}=4+\frac{1}{48}(x-64)-\frac{1}{9216}(x-64)^2+\frac{5}{5\,308\,416}(x-64)^3+\cdots

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