Questão 1. (3 pts) Considere as seguintes curvas dadas em coordenadas polares:
(1) r=4 \cos \theta
(2) r(1-\cos \theta)=1
(a) Encontre as equações dessas curvas em coordenadas cartesianas
(b) Encontre uma parametrização x=x(t) e y=y(t) para apenas uma dessas curvas.
(c) Use as parametrizações do item (b) para encontrar as tangentes verticais e horizontais da curva selecionada. Trace a curva com a ajuda desses cálculos.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares:
  • (1) r=4\cos\theta
  • (2) r(1-\cos\theta)=1
O que é pedido:
(a) Encontrar as equações dessas curvas em coordenadas cartesianas (ou seja, em x,y).
(b) Encontrar uma parametrização x=x(t), y=y(t) para apenas uma dessas curvas (escolherei uma e vou justificar).
(c) Usar a parametrização do item (b) para achar as tangentes verticais e horizontais da curva escolhida e traçar a curva com a ajuda desses cálculos.
Informações que vou usar (dados do enunciado e fórmulas básicas que vêm com polar→cartesiano):
  • As relações entre coordenadas polares e cartesianas: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r^2 = x^2+y^2.
  • Em polar normalmente r\ge 0; isso cria restrições no intervalo de \theta quando houver fatores como \cos\theta.

Passo 2

Converter a curva (1) r=4\cos\theta para coordenadas cartesianas, passo a passo.
Começo multiplicando ambos os lados por r (isso é legal porque r\ge0):
r^2 = 4r\cos\theta.
Agora uso r^2 = x^2+y^2 e r\cos\theta = x, então
x^2+y^2 = 4x.
Essa é a forma cartesiana. Para entender geometricamente, completo o quadrado em x:
x^2 - 4x + y^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)^2 + y^2 = 4.
Logo é um círculo de centro (2,0) e raio 2.
Observação sobre domínio vindo da forma polar: como r=4\cos\theta e r\ge0, precisamos de \cos\theta\ge0, isto é \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] (ou qualquer equivalente por 2\pi se quisermos cobrir a curva repetidas vezes). Isso mostra como a representação polar descreve o círculo uma vez enquanto \theta varia nesse intervalo.

Passo 3

Converter a curva (2) r(1-\cos\theta)=1 para coordenadas cartesianas, passo a passo.
Parto da equação dada:
r(1-\cos\theta)=1.
Escrevo r e r\cos\theta em termos de x,y:
r - r\cos\theta = 1 \quad\Longrightarrow\quad r - x = 1.
Isto é
\sqrt{x^2+y^2} - x = 1.
Aqui preciso ter cuidado: essa igualdade exige que o lado direito seja \ge0, então 1+x\ge0, ou seja x\ge-1. Agora isolo a raiz e quadrado ambos os lados (só posso fazer isso sem adicionar soluções inválidas porque já impusemos x\ge-1):
\sqrt{x^2+y^2} = 1 + x
x^2+y^2 = (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2.
Cancelando x^2 em ambos os lados:
y^2 = 1 + 2x.
Portanto a forma cartesiana é
y^2 = 1 + 2x,
com a condição natural x\ge-1 (que já é coerente com a equação, pois se x<-1 o lado direito seria negativo e não haveria y real). Podemos reescrever como
y^2 = 2\left(x+\tfrac{1}{2}\right),
o que mostra que é uma parábola com vértice em \bigl(-\tfrac{1}{2},0\bigr) e com foco em (0,0) (detalhe geométrico extra, útil para intuição).

Passo 4

Escolha de parametrização (item (b)) — justificativa e formulação.
Vou parametrizar apenas a curva (1) — o círculo — porque é mais simples e ilustra bem o processo de encontrar tangentes horizontais/verticais. (Se quiser, dá para parametrizar a parábola também; mas o enunciado pede só uma.)
Duas opções naturais de parametrização do círculo (x-2)^2+y^2=4:
  • Usar a própria \theta polar: x=4\cos^2\theta, y=4\cos\theta\sin\theta. Isso funciona, mas fica um pouco mais pesado para derivar porque x e y têm fatores \cos\theta.
  • Usar a parametrização trigonométrica padrão de um círculo centrado em (2,0) e raio 2: escolher uma nova variável t e tomar x(t) = 2 + 2\cos t,\qquad y(t) = 2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Essa última é mais prática: cobre todo o círculo de forma simples e as derivadas ficam fáceis de calcular. Vou usá-la.
Portanto a parametrização escolhida (resposta do item (b)) é
x(t) = 2 + 2\cos t,\qquad y(t) = 2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Explicação breve do que cada variável significa: o parâmetro t é o ângulo-padrão do ponto na circunferência em coordenadas centradas em (2,0); quando t aumenta, percorremos o círculo no sentido anti-horário.

Passo 5

Como encontrar tangentes usando a parametrização (princípio e cálculo).
Princípio: se x=x(t) e y=y(t) são suaves, a inclinação da tangente é
\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt},
quando dx/dt\neq0. Tangente horizontal ocorre quando dy/dt=0 e dx/dt\neq0. Tangente vertical ocorre quando dx/dt=0 e dy/dt\neq0.
Calculo as derivadas para a parametrização escolhida:
x'(t) = \frac{dx}{dt} = -2\sin t,\qquad y'(t) = \frac{dy}{dt} = 2\cos t.
Agora resolvo para os casos.
Caso horizontal: y'(t)=0 e x'(t)\neq0.
y'(t)=2\cos t=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t=\tfrac{\pi}{2},\\ \tfrac{3\pi}{2}\\ (\text{mod }2\pi).
Verifico x'(t) nesses valores:
x'\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -2\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -2\cdot 1 = -2 \neq 0,
x'\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = -2\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = -2\cdot(-1)=2 \neq 0.
Portanto são horizontais legítimas. Os pontos correspondentes:
t=\tfrac{\pi}{2} \Rightarrow (x,y)=\bigl(2+2\cos\tfrac{\pi}{2},\;2\sin\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(2,2).
t=\tfrac{3\pi}{2} \Rightarrow (x,y)=\bigl(2+2\cos\tfrac{3\pi}{2},\;2\sin\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=(2,-2).
Conclusão: tangentes horizontais em (2,2) e (2,-2).
Caso vertical: x'(t)=0 e y'(t)\neq0.
x'(t)=-2\sin t=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t=0,\\ \pi\\ (\text{mod }2\pi).
Verifico y'(t) nesses valores:
y'(0)=2\cos 0 = 2\neq0,\qquad y'(\pi)=2\cos\pi = -2\neq0.
Portanto são verticais legítimas. Os pontos correspondentes:
t=0 \Rightarrow (x,y)=\bigl(2+2\cos 0,\;2\sin 0\bigr)=(4,0).
t=\pi \Rightarrow (x,y)=\bigl(2+2\cos\pi,\;2\sin\pi\bigr)=(0,0).
Conclusão: tangentes verticais em (4,0) e (0,0).

Passo 6

Traçar a curva com a ajuda dos cálculos (descrição guiada do traço).
Informações essenciais para desenhar o círculo (x-2)^2+y^2=4:
  • Centro em (2,0), raio 2.
  • Interseções com os eixos e pontos-chave (obtidos acima):
    • Ponto direito: (4,0) — tangente vertical.
    • Ponto esquerdo: (0,0) — tangente vertical.
    • Ponto superior: (2,2) — tangente horizontal.
    • Ponto inferior: (2,-2) — tangente horizontal.
  • Orientação com a parametrização t: aumento de t dá movimento anti-horário começando em (4,0) para t=0.
Com essas informações pode-se esboçar o círculo facilmente: centro em (2,0), raio 2, marcando os quatro pontos e traçando a circunferência passando por eles. As tangentes horizontais e verticais aparecem conforme calculado.

Resposta

(a) (x-2)^2 + y^2 = 4 \quad e \quad y^2 = 1 + 2x,\; x\ge-1.
(b) Para a curva (x-2)^2+y^2=4: x(t)=2+2\cos t,\; y(t)=2\sin t,\; t\in[0,2\pi).
(c) Tangentes horizontais: (2,2) e (2,-2).
Tangentes verticais: (4,0) e (0,0).

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