Questão 1. (3 pts) Considere as seguintes curvas dadas em coordenadas polares:
(1)
(2)
(a) Encontre as equações dessas curvas em coordenadas cartesianas
(b) Encontre uma parametrização
e
para apenas uma dessas curvas.
(c) Use as parametrizações do item (b) para encontrar as tangentes verticais e horizontais da curva selecionada. Trace a curva com a ajuda desses cálculos.
(1)
(2)
(a) Encontre as equações dessas curvas em coordenadas cartesianas
(b) Encontre uma parametrização
(c) Use as parametrizações do item (b) para encontrar as tangentes verticais e horizontais da curva selecionada. Trace a curva com a ajuda desses cálculos.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares:
- (1)
- (2)
O que é pedido:
(a) Encontrar as equações dessas curvas em coordenadas cartesianas (ou seja, em ).
(b) Encontrar uma parametrização ,
para apenas uma dessas curvas (escolherei uma e vou justificar).
(c) Usar a parametrização do item (b) para achar as tangentes verticais e horizontais da curva escolhida e traçar a curva com a ajuda desses cálculos.
(a) Encontrar as equações dessas curvas em coordenadas cartesianas (ou seja, em
(b) Encontrar uma parametrização
(c) Usar a parametrização do item (b) para achar as tangentes verticais e horizontais da curva escolhida e traçar a curva com a ajuda desses cálculos.
Informações que vou usar (dados do enunciado e fórmulas básicas que vêm com polar→cartesiano):
- As relações entre coordenadas polares e cartesianas:
- Em polar normalmente
; isso cria restrições no intervalo de quando houver fatores como .
Passo 2
Converter a curva (1)
para coordenadas cartesianas, passo a passo.
Começo multiplicando ambos os lados por
(isso é legal porque
):
Agora uso
e
, então
Essa é a forma cartesiana. Para entender geometricamente, completo o quadrado em
:
Logo é um círculo de centro
e raio
.
Observação sobre domínio vindo da forma polar: como
e
, precisamos de
, isto é
(ou qualquer equivalente por
se quisermos cobrir a curva repetidas vezes). Isso mostra como a representação polar descreve o círculo uma vez enquanto
varia nesse intervalo.
Passo 3
Converter a curva (2)
para coordenadas cartesianas, passo a passo.
Parto da equação dada:
Escrevo
e
em termos de
:
Isto é
Aqui preciso ter cuidado: essa igualdade exige que o lado direito seja
, então
, ou seja
. Agora isolo a raiz e quadrado ambos os lados (só posso fazer isso sem adicionar soluções inválidas porque já impusemos
):
Cancelando
em ambos os lados:
Portanto a forma cartesiana é
com a condição natural
(que já é coerente com a equação, pois se
o lado direito seria negativo e não haveria
real). Podemos reescrever como
o que mostra que é uma parábola com vértice em
e com foco em
(detalhe geométrico extra, útil para intuição).
Passo 4
Escolha de parametrização (item (b)) — justificativa e formulação.
Vou parametrizar apenas a curva (1) — o círculo — porque é mais simples e ilustra bem o processo de encontrar tangentes horizontais/verticais. (Se quiser, dá para parametrizar a parábola também; mas o enunciado pede só uma.)
Duas opções naturais de parametrização do círculo
:
- Usar a própria
polar: , . Isso funciona, mas fica um pouco mais pesado para derivar porque e têm fatores . - Usar a parametrização trigonométrica padrão de um círculo centrado em
e raio : escolher uma nova variável e tomar
Essa última é mais prática: cobre todo o círculo de forma simples e as derivadas ficam fáceis de calcular. Vou usá-la.
Portanto a parametrização escolhida (resposta do item (b)) é
Explicação breve do que cada variável significa: o parâmetro
é o ângulo-padrão do ponto na circunferência em coordenadas centradas em
; quando
aumenta, percorremos o círculo no sentido anti-horário.
Passo 5
Como encontrar tangentes usando a parametrização (princípio e cálculo).
Princípio: se
e
são suaves, a inclinação da tangente é
quando
. Tangente horizontal ocorre quando
e
. Tangente vertical ocorre quando
e
.
Calculo as derivadas para a parametrização escolhida:
Agora resolvo para os casos.
Caso horizontal:
e
.
Verifico
nesses valores:
Portanto são horizontais legítimas. Os pontos correspondentes:
Conclusão: tangentes horizontais em
e
.
Caso vertical:
e
.
Verifico
nesses valores:
Portanto são verticais legítimas. Os pontos correspondentes:
Conclusão: tangentes verticais em
e
.
Passo 6
Traçar a curva com a ajuda dos cálculos (descrição guiada do traço).
Informações essenciais para desenhar o círculo
:
- Centro em
, raio . - Interseções com os eixos e pontos-chave (obtidos acima):
- Ponto direito:
— tangente vertical. - Ponto esquerdo:
— tangente vertical. - Ponto superior:
— tangente horizontal. - Ponto inferior:
— tangente horizontal.
- Ponto direito:
- Orientação com a parametrização
: aumento de dá movimento anti-horário começando em para .
Com essas informações pode-se esboçar o círculo facilmente: centro em
, raio
, marcando os quatro pontos e traçando a circunferência passando por eles. As tangentes horizontais e verticais aparecem conforme calculado.
Resposta
(a)
\quad e \quad
(b) Para a curva :
(c) Tangentes horizontais: e
.
Tangentes verticais: e
.
(b) Para a curva
(c) Tangentes horizontais:
Tangentes verticais: