(2 pontos) Uma partícula desloca-se ao longo de uma curva no plano de equação
Qual o valor de
, sabendo que
e
?
Passo 1
O enunciado dá a equação da curva percorrida pela partícula e pede uma derivada naquele instante. Informações fornecidas:
- A curva satisfaz
- No instante
vale - No instante
vale - No instante
vale
O que é pedido: determinar
.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): como
e
dependem de
e satisfazem uma relação algébrica entre si, diferenciamos a equação da curva em relação a
— isto é, fazemos diferenciação implícita — para obter uma relação entre
e
. Depois substituímos os valores no instante
.
Passo 3
Vou diferenciar a equação
em relação a
. Explicando a regra que uso: se
é função de
, a derivada de
é
(regra da cadeia). Aplicando isso a
e a
obtemos:
Logo,
onde
e
e as derivadas estão avaliadas em
genérico; escrevendo explicitamente
e
a relação é
Passo 4
Simplificando a equação dividindo por
e isolando
, obtemos a fórmula útil:
Aqui
é a derivada temporal de
,
é a derivada temporal de
, e
são as coordenadas naquele mesmo instante.
Passo 5
Agora vamos substituir os dados no instante
. Primeiro precisamos do valor de
. Usamos a própria equação da curva com
:
Portanto
.; Como o enunciado diz
, escolhemos
Passo 6
Agora substituímos na fórmula de
:
Calcule passo a passo:
, e
.
Passo 7
Interpretação final rápida: o sinal negativo indica que, naquele instante
, a componente
da posição está diminuindo — isto é, a partícula está se movendo para valores menores de
.