(2 pontos) Uma partícula desloca-se ao longo de uma curva no plano de equação
x^{2}-y^{2}=12 .
Qual o valor de \boldsymbol{x}^{\prime}\left(t_{0}\right), sabendo que x\left(t_{0}\right)=4, y\left(t_{0}\right)<0 e y^{\prime}\left(t_{0}\right)=2 ?

Passo 1

O enunciado dá a equação da curva percorrida pela partícula e pede uma derivada naquele instante. Informações fornecidas:
  • A curva satisfaz x^{2}-y^{2}=12.
  • No instante t_{0} vale x\bigl(t_{0}\bigr)=4.
  • No instante t_{0} vale y\bigl(t_{0}\bigr)<0.
  • No instante t_{0} vale y'\bigl(t_{0}\bigr)=2.
O que é pedido: determinar x'\bigl(t_{0}\bigr).

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): como x e y dependem de t e satisfazem uma relação algébrica entre si, diferenciamos a equação da curva em relação a t — isto é, fazemos diferenciação implícita — para obter uma relação entre x\bigl(t\bigr),y\bigl(t\bigr),x'\bigl(t\bigr) e y'\bigl(t\bigr). Depois substituímos os valores no instante t_{0}.

Passo 3

Vou diferenciar a equação \;x^{2}-y^{2}=12\; em relação a t. Explicando a regra que uso: se u(t) é função de t, a derivada de u(t)^{2} é 2\,u(t)\,u'(t) (regra da cadeia). Aplicando isso a x^{2} e a y^{2} obtemos:
\frac{d}{dt}\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{d}{dt}\bigl(y^{2}\bigr)=\frac{d}{dt}(12).
Logo,
2x\,x'-2y\,y'=0,
onde x e y e as derivadas estão avaliadas em t genérico; escrevendo explicitamente x'(t) e y'(t) a relação é
2x(t)\,x'(t)-2y(t)\,y'(t)=0.

Passo 4

Simplificando a equação dividindo por 2 e isolando x'(t), obtemos a fórmula útil:
x(t)\,x'(t)-y(t)\,y'(t)=0 \qquad\Rightarrow\qquad x'(t)=\frac{y(t)\,y'(t)}{x(t)}.
Aqui x'(t) é a derivada temporal de x, y'(t) é a derivada temporal de y, e x(t),y(t) são as coordenadas naquele mesmo instante.

Passo 5

Agora vamos substituir os dados no instante t_{0}. Primeiro precisamos do valor de y\bigl(t_{0}\bigr). Usamos a própria equação da curva com x\bigl(t_{0}\bigr)=4:
x\bigl(t_{0}\bigr)^{2}-y\bigl(t_{0}\bigr)^{2}=12
4^{2}-y\bigl(t_{0}\bigr)^{2}=12
16-y\bigl(t_{0}\bigr)^{2}=12
y\bigl(t_{0}\bigr)^{2}=4.
Portanto \;y\bigl(t_{0}\bigr)=\pm 2.; Como o enunciado diz y\bigl(t_{0}\bigr)<0, escolhemos \;y\bigl(t_{0}\bigr)=-2.

Passo 6

Agora substituímos na fórmula de x'(t):
x'\bigl(t_{0}\bigr)=\frac{y\bigl(t_{0}\bigr)\,y'\bigl(t_{0}\bigr)}{x\bigl(t_{0}\bigr)} =\frac{(-2)\cdot 2}{4}.
Calcule passo a passo: (-2)\cdot 2 = -4, e -4/4 = -1.

Passo 7

Interpretação final rápida: o sinal negativo indica que, naquele instante t_{0}, a componente x da posição está diminuindo — isto é, a partícula está se movendo para valores menores de x.

Resposta

-1

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