Atividade 7 - Degraus, Barreiras e Tunelamento
Dois nanofios de cobre estão isolados por uma camada de óxido de cobre que equivale a uma barreira de potencial de 10,0 \mathrm{eV}. Estime a probabilidade de tunelamento entre os nanofios por elétrons com energia de 7,00 \mathrm{eV}, considerando que a espessura do óxido de cobre seja de 1,16 nanômetros.
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a probabilidade de tunelamento entre dois nanofios isolados por uma barreira de potencial devido ao óxido de cobre. Dados fornecidos:
V_0 = 10{,}0\\ \mathrm{eV},\qquad E = 7{,}00\\ \mathrm{eV},\qquad a = 1{,}16\\ \mathrm{nm}.
A pergunta é: qual a probabilidade (transmitância) de um elétron com energia E atravessar (tunelar) a barreira de altura V_0 e espessura a?

Passo 2

Estratégia e fórmula que vou usar (sem pular etapas): para um elétron com energia E < V_0 atravessando uma barreira retangular de espessura a, uma estimativa simples e muito usada é a aproximação exponencial (WKB aproximado)
T \approx \exp\big(-2\kappa a\big),
onde \kappa é o número de onda imaginário dentro da barreira, dado por
\kappa = \sqrt{\dfrac{2m\,(V_0-E)}{\hbar^2}}.
Explicando as variáveis: T é a probabilidade de tunelamento (adimensional), m é a massa do elétron, \hbar é a constante de Planck reduzida, e V_0-E é a diferença entre a altura da barreira e a energia do elétron (a energia “faltante” para superar a barreira). Uso essa aproximação porque dá uma estimativa rápida e confiável quando a barreira não é extremamente fina — para uma estimativa “na prova” ela é suficiente.

Passo 3

Valores das constantes e conversões (vou converter eV para joules porque m e \hbar estão em unidades SI):
m = 9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
\hbar = 1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Diferença de energia dentro da barreira:
\Delta = V_0 - E = 10{,}0 - 7{,}00 = 3{,}00\\ \mathrm{eV}.
Convertendo para joules:
\Delta = 3{,}00\times1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 4{,}806529902\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Convertendo a espessura para metros:
a = 1{,}16\\ \mathrm{nm} = 1{,}16\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular \kappa. Primeiro a expressão dentro da raiz:
2m\Delta = 2\times(9{,}10938356\times10^{-31})\times(4{,}806529902\times10^{-19}) \approx 8{,}758\times10^{-49}.
Calculo de \hbar^2:
\hbar^2 = (1{,}054571817\times10^{-34})^2 \approx 1{,}1121\times10^{-68}.
Agora a razão:
\dfrac{2m\Delta}{\hbar^2} \approx \dfrac{8{,}758\times10^{-49}}{1{,}1121\times10^{-68}} \approx 7{,}88\times10^{19}.
Tirando a raiz quadrada:
\kappa = \sqrt{7{,}88\times10^{19}} \approx 8{,}88\times10^{9}\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 5

Calcular o expoente 2\kappa a:
2\kappa a = 2\times(8{,}88\times10^{9})\times(1{,}16\times10^{-9}) \approx 20{,}62.
Isso significa que a função de onda dentro da barreira decai como \mathrm{e}^{-\,\kappa x} e a probabilidade de transmissão decai como \mathrm{e}^{-2\kappa a} com esse expoente.

Passo 6

Avaliar a probabilidade de tunelamento pela fórmula exponencial:
T \approx \exp(-2\kappa a) \approx \exp(-20{,}62) \approx 1{,}1\times10^{-9}.
Cálculo numérico: \exp(-20{,}62) é da ordem de 10^{-9}, mais precisamente cerca de 1{,}1\times10^{-9}.

Passo 7

Interpretação e incentivo rápido: o resultado significa que a probabilidade de um elétron com 7{,}00\\ \mathrm{eV} atravessar uma barreira de 10{,}0\\ \mathrm{eV} e 1{,}16\\ \mathrm{nm} de espessura é extremamente pequena, da ordem de partes por bilhão, mas não zero — e isso já explica fenômenos práticos em nanoescala. Você fez bem em pedir a resolução passo a passo; com esse procedimento você consegue aplicar a mesma rotina para outros valores de V_0, E e a.

Resposta

1{,}1\times10^{-9}

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