Atividade 7 - Degraus, Barreiras e Tunelamento
Dois nanofios de cobre estão isolados por uma camada de óxido de cobre que equivale a uma barreira de potencial de
. Estime a probabilidade de tunelamento entre os nanofios por elétrons com energia de
, considerando que a espessura do óxido de cobre seja de 1,16 nanômetros.
Resposta: □
Passo 1
O enunciado pede que eu estime a probabilidade de tunelamento entre dois nanofios isolados por uma barreira de potencial devido ao óxido de cobre. Dados fornecidos:
A pergunta é: qual a probabilidade (transmitância) de um elétron com energia
atravessar (tunelar) a barreira de altura
e espessura
?
Passo 2
Estratégia e fórmula que vou usar (sem pular etapas): para um elétron com energia
atravessando uma barreira retangular de espessura
, uma estimativa simples e muito usada é a aproximação exponencial (WKB aproximado)
onde
é o número de onda imaginário dentro da barreira, dado por
Explicando as variáveis:
é a probabilidade de tunelamento (adimensional),
é a massa do elétron,
é a constante de Planck reduzida, e
é a diferença entre a altura da barreira e a energia do elétron (a energia “faltante” para superar a barreira). Uso essa aproximação porque dá uma estimativa rápida e confiável quando a barreira não é extremamente fina — para uma estimativa “na prova” ela é suficiente.
Passo 3
Valores das constantes e conversões (vou converter eV para joules porque
e
estão em unidades SI):
Diferença de energia dentro da barreira:
Convertendo para joules:
Convertendo a espessura para metros:
Passo 4
Calcular
. Primeiro a expressão dentro da raiz:
Calculo de
:
Agora a razão:
Tirando a raiz quadrada:
Passo 5
Calcular o expoente
:
Isso significa que a função de onda dentro da barreira decai como
e a probabilidade de transmissão decai como
com esse expoente.
Passo 6
Avaliar a probabilidade de tunelamento pela fórmula exponencial:
Cálculo numérico:
é da ordem de
, mais precisamente cerca de
.
Passo 7
Interpretação e incentivo rápido: o resultado significa que a probabilidade de um elétron com
atravessar uma barreira de
e
de espessura é extremamente pequena, da ordem de partes por bilhão, mas não zero — e isso já explica fenômenos práticos em nanoescala. Você fez bem em pedir a resolução passo a passo; com esse procedimento você consegue aplicar a mesma rotina para outros valores de
,
e
.