Questão 5. [4,0 Pontos] Um projétil é lançado verticalmente para cima, a partir da superfície da Terra, com velocidade inicial de
. Desprezando a resistência do ar, determine a altura máxima atingida pelo projétil, medida a partir da superfície terrestre.
Dados:
Passo 1
O enunciado pede a altura máxima atingida por um projétil lançado verticalmente para cima, medida a partir da superfície da Terra. Informações fornecidas:
O problema diz para desprezar resistência do ar. A pergunta única é: qual é a altura máxima
acima da superfície da Terra alcançada pelo projétil?
Passo 2
Ideia física que vamos usar (descrita passo a passo): conservação de energia mecânica. Sem resistência do ar, a energia mecânica total se conserva. No lançamento vertical, a energia inicial é somente cinética (tomando referência potencial gravitacional na superfície). No ponto mais alto a velocidade é zero, então toda a energia cinética inicial virou energia potencial gravitacional a uma distância
do centro da Terra. Vamos escrever isso matematicamente.
Passo 3
Fórmula da energia cinética e da energia potencial gravitacional (explicando cada símbolo):
A energia cinética de uma massa com velocidade
é
A energia cinética de uma massa
onde
é a massa do projétil e
sua velocidade.
A energia potencial gravitacional de uma massa a uma distância
do centro da Terra (para um campo gravitacional central) é
A energia potencial gravitacional de uma massa
onde
é a constante gravitacional,
é a massa da Terra e
é a distância ao centro da Terra. O sinal negativo indica que a energia é definida tomando zero no infinito; não precisa se preocupar com o sinal, pois vamos usar diferenças de energia.
Passo 4
Aplicando conservação de energia entre o ponto inicial (na superfície,
, com velocidade
) e o ponto de altura máxima (distância ao centro
, velocidade zero):
Substituindo
e cancelando
(aparece em todos os termos), obtemos
Passo 5
Reorganizando a equação para isolar
. Primeiro somamos
em ambos os lados e subtraímos
em ambos os lados:
Agora dividimos ambos os lados por
(positivo), obtendo
Finalmente isolamos
invertendo e subtraindo
:
Essa é a fórmula que vamos usar para calcular numericamente
.
Passo 6
Agora calculamos numericamente cada termo (vou mostrar as contas e o raciocínio para você reproduzir na prova sem calculadora, usando aproximações adequadas):
Calculemos primeiro o produto
:
Em seguida calculemos
Também precisamos de
Agora a diferença:
Invertendo para obter
:
Por fim, subtraindo
para obter
:
Passo 7
Interpretação do resultado e comparação com a aproximação de gravidade constante: usando
constante (
) a altura seria
. A conta com gravidade variável (a correta para esta formulação) dá um valor muito próximo, ligeiramente maior, porque a gravidade diminui com a altura.