Questão 5. [4,0 Pontos] Um projétil é lançado verticalmente para cima, a partir da superfície da Terra, com velocidade inicial de 1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Desprezando a resistência do ar, determine a altura máxima atingida pelo projétil, medida a partir da superfície terrestre.

Dados:

\begin{aligned} & G=6,67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{kg}^{2} \text { (constante gravitacional) } \\\ & M_{T}=5,98 \times 10^{24} \mathrm{~kg} \text { (massa da Terra) } \\\ & R_{T}=6,37 \times 10^{6} \mathrm{~m} \text { (raio da Terra) } \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a altura máxima atingida por um projétil lançado verticalmente para cima, medida a partir da superfície da Terra. Informações fornecidas:
\begin{aligned} &\text{velocidade inicial: }\; v_0 = 1000\\ \mathrm{m/s} \\\ &\text{constante gravitacional: }\; G = 6{,}67\times 10^{-11}\\ \mathrm{N\cdot m^2/kg^2} \\\ &\text{massa da Terra: }\; M_T = 5{,}98\times 10^{24}\\ \mathrm{kg} \\\ &\text{raio da Terra: }\; R_T = 6{,}37\times 10^{6}\\ \mathrm{m} \end{aligned}
O problema diz para desprezar resistência do ar. A pergunta única é: qual é a altura máxima h acima da superfície da Terra alcançada pelo projétil?

Passo 2

Ideia física que vamos usar (descrita passo a passo): conservação de energia mecânica. Sem resistência do ar, a energia mecânica total se conserva. No lançamento vertical, a energia inicial é somente cinética (tomando referência potencial gravitacional na superfície). No ponto mais alto a velocidade é zero, então toda a energia cinética inicial virou energia potencial gravitacional a uma distância R_T+h do centro da Terra. Vamos escrever isso matematicamente.

Passo 3

Fórmula da energia cinética e da energia potencial gravitacional (explicando cada símbolo):
A energia cinética de uma massa m com velocidade v é
K=\frac{1}{2} m v^2,
onde m é a massa do projétil e v sua velocidade.
A energia potencial gravitacional de uma massa m a uma distância r do centro da Terra (para um campo gravitacional central) é
U(r) = -\frac{G M_T m}{r},
onde G é a constante gravitacional, M_T é a massa da Terra e r é a distância ao centro da Terra. O sinal negativo indica que a energia é definida tomando zero no infinito; não precisa se preocupar com o sinal, pois vamos usar diferenças de energia.

Passo 4

Aplicando conservação de energia entre o ponto inicial (na superfície, r=R_T, com velocidade v_0) e o ponto de altura máxima (distância ao centro r=R_T+h, velocidade zero):
\text{energia inicial} = \text{energia final}
\frac{1}{2} m v_0^2 + U(R_T) \;=\; 0 + U(R_T+h).
Substituindo U(r)=-\dfrac{G M_T m}{r} e cancelando m (aparece em todos os termos), obtemos
\frac{1}{2} v_0^2 - \frac{G M_T}{R_T} \;=\; -\frac{G M_T}{R_T+h}.

Passo 5

Reorganizando a equação para isolar h. Primeiro somamos \dfrac{G M_T}{R_T+h} em ambos os lados e subtraímos \dfrac{1}{2}v_0^2 em ambos os lados:
\frac{G M_T}{R_T+h} \;=\; \frac{G M_T}{R_T} - \frac{1}{2} v_0^2.
Agora dividimos ambos os lados por G M_T (positivo), obtendo
\frac{1}{R_T+h} \;=\; \frac{1}{R_T} - \frac{v_0^2}{2 G M_T}.
Finalmente isolamos h invertendo e subtraindo R_T:
R_T+h \;=\; \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{R_T} - \frac{v_0^2}{2 G M_T} }
\Rightarrow\; h \;=\; \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{R_T} - \frac{v_0^2}{2 G M_T} } - R_T.
Essa é a fórmula que vamos usar para calcular numericamente h.

Passo 6

Agora calculamos numericamente cada termo (vou mostrar as contas e o raciocínio para você reproduzir na prova sem calculadora, usando aproximações adequadas):
Calculemos primeiro o produto G M_T:
G M_T = (6{,}67\times 10^{-11})\cdot(5{,}98\times 10^{24}) =3{,}98666\times 10^{14}\\ \mathrm{m^3/s^2}.
Em seguida calculemos
\frac{v_0^2}{2 G M_T} =\frac{(1000)^2}{2\cdot 3{,}98666\times 10^{14}} =\frac{1{,}0\times 10^{6}}{7{,}97332\times 10^{14}} \approx 1{,}253\times 10^{-9}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Também precisamos de
\frac{1}{R_T}=\frac{1}{6{,}37\times 10^{6}}\approx 1{,}569\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Agora a diferença:
\frac{1}{R_T} - \frac{v_0^2}{2 G M_T} \approx 1{,}569\times 10^{-7} - 1{,}253\times 10^{-9} \approx 1{,}556\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Invertendo para obter R_T+h:
R_T+h \approx \frac{1}{1{,}556\times 10^{-7}} \approx 6{,}4216\times 10^{6}\\ \mathrm{m}.
Por fim, subtraindo R_T para obter h:
h \approx 6{,}4216\times 10^{6} - 6{,}3700\times 10^{6} \approx 5,16\times 10^{4}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação do resultado e comparação com a aproximação de gravidade constante: usando g constante ( g\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}) a altura seria h\approx v_0^2/(2g)\approx 1{,}000{,}000/(19{,}6)\approx 5,10\times 10^{4}\\ \mathrm{m}. A conta com gravidade variável (a correta para esta formulação) dá um valor muito próximo, ligeiramente maior, porque a gravidade diminui com a altura.

Resposta

h \approx 5,16\times 10^{4}\\ \mathrm{m}

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