Atividade 9. Determine P7 da Série de MacLaurin da função f(x)=sen(x).

Passo 1

A questão pede para determinar o polinômio de Maclaurin de grau 7 da função f(x)=sen(x). O conteúdo é expansão em série de Taylor centrada em zero e vamos precisar da definição da série de Maclaurin e das derivadas de sen(x) até a sétima ordem.

Passo 2

A série de Maclaurin de uma função f(x) é dada por f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n. Para obter o polinômio de grau 7, basta calcular f^(n)(0) para n=0,1,dots,7 e montar os termos até x^7.
As derivadas de sen(x) se repetem a cada 4 ordens: sen, cos, -sen, -cos, e voltam a sen. Avaliando em x=0, obtemos: f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=0, f'''(0)=-1, f^(4)(0)=0, f^(5)(0)=1, f^(6)(0)=0, f^(7)(0)=-1. Portanto, só aparecem termos para n=1,3,5,7 com sinais alternados.

Passo 3

O polinômio de grau 7 é a soma dos termos f^(n)(0)n!x^n para n=1,3,5,7. Substituindo os valores e lembrando que 1!=1, 3!=6, 5!=120 e 7!=5040, temos:
P7(x)=x-x^36+x^5120-x^75040

Resposta

P7(x)=x-x^36+x^5120-x^75040

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