Atividade 9. Determine da Série de MacLaurin da função .
Passo 1
A questão pede para determinar o polinômio de Maclaurin de grau 7 da função f(x)=sen(x). O conteúdo é expansão em série de Taylor centrada em zero e vamos precisar da definição da série de Maclaurin e das derivadas de sen(x) até a sétima ordem.
Passo 2
A série de Maclaurin de uma função f(x) é dada por . Para obter o polinômio de grau 7, basta calcular para e montar os termos até .
As derivadas de sen(x) se repetem a cada 4 ordens: sen, cos, -sen, -cos, e voltam a sen. Avaliando em x=0, obtemos: , , , , , , , . Portanto, só aparecem termos para n=1,3,5,7 com sinais alternados.
Passo 3
O polinômio de grau 7 é a soma dos termos para . Substituindo os valores e lembrando que , , e , temos: