Atividade 8. Determine a Série de Taylor para f(x)=e^x centrada em c=1.

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a série de Taylor da função de variável real f(x)=e^{x} em torno do ponto c=1. Para isso vamos usar definição de série de Taylor e calcular as derivadas em c.

Passo 2

A fórmula geral da série de Taylor de uma função f em torno de c é dada por
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(c)n!(x-c)^n
Vamos aplicar esse resultado para f(x)=e^{x} e c=1.

Passo 3

Como f(x)=e^{x}, todas as derivadas são f{(n)}(x)=e{x}. Portanto, avaliando em c=1 temos f^{(n)}(1)=e.

Passo 4

Substituindo f^{(n)}(1)=e na série de Taylor obtemos
f(x)=sumn=0^inftyen!(x-1)^n= esumn=0^infty(x-1)^nn!

Resposta

f(x)=e^x=sumn=0^inftyen!(x-1)^n

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