Atividade 1: Discuta e resolva cada um dos sistemas a seguir. Depois, Ihes dê uma interpretação geométrica. \left\{\begin{array}{l}2 x+y=3 \\\\ 6 x+3 y=9\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede que eu discuta e resolva o sistema e, em seguida, dê uma interpretação geométrica. As equações fornecidas são:
\begin{cases} 2x+y=3\\[4pt] 6x+3y=9 \end{cases}
O que se pede concretamente:
Determinar todas as soluções (x,y) que satisfazem as duas equações simultaneamente.
Explicar geometricamente o que essas equações representam e o que isso implica sobre as soluções.]
Passo 2
Vou olhar para as equações e testar se uma é múltipla da outra. Multiplicando a primeira equação por \,3, obtemos:
Note que este resultado é exatamente a segunda equação do sistema. Portanto, a segunda equação é um múltiplo (três vezes) da primeira.
Passo 3
Como a segunda equação não traz informação nova (ela é redundante), o sistema original é equivalente à única equação
2x+y=3.
Isto significa que temos apenas uma relação entre as duas incógnitas x e y. Em termos algébricos, uma equação em duas incógnitas deixa uma variável livre (grau de liberdade 1), o que normalmente gera infinitas soluções.
Passo 4
Para descrever todas as soluções de forma explicita, escolho uma variável como parâmetro livre. Por exemplo, seja \,t\in\mathbb{R} e tome
x=t.
Substituindo em \,2x+y=3 obtemos
2t+y=3 \quad\Longrightarrow\quad y=3-2t.
Assim a família de todas as soluções é
\{(x,y)\mid x=t,\; y=3-2t,\; t\in\mathbb{R}\}.
Passo 5
Dou alguns exemplos numéricos (úteis para conferir na prova):
Para t=0: (x,y)=(0,3).
Para t=1: (x,y)=(1,1).
Para t=2: (x,y)=(2,-1).
Qualquer um desses pares satisfaz tanto a primeira quanto a segunda equação (porque as duas são a mesma reta).
Passo 6
Interpretação geométrica (explicada passo a passo):
Cada equação linear do tipo \,ax+by=c representa uma reta no plano (x,y).
A primeira equação pode ser escrita em forma explicita como
y=3-2x,
ou seja, reta de coeficiente angular (inclinação) -2 e intercepto (ordenada na origem) 3.
A segunda equação, por ser exatamente 3 vezes a primeira, representa a mesma reta (mesma inclinação e mesmo intercepto).
Quando duas equações representam a mesma reta, a interseção das duas retas é a própria reta inteira: há infinitos pontos em comum. Portanto o sistema tem infinitas soluções, correspondentes a todos os pontos dessa reta.
Passo 7
Classificação final (em linguagem útil para prova):
O sistema é consistente (existe solução) e dependente (as equações são linearmente dependentes), logo tem infinitas soluções parametrizadas por um parâmetro real.
Resposta
\{(x,y)\mid x=t,\; y=3-2t,\; t\in\mathbb{R}\}
As duas equações representam a mesma reta y=3-2x no plano, logo há infinitas soluções (todos os pontos dessa reta).