Atividade 1: Discuta e resolva cada um dos sistemas a seguir. Depois, Ihes dê uma interpretação geométrica.
\left\{\begin{array}{l}2 x+y=3 \\\\ 6 x+3 y=9\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu discuta e resolva o sistema e, em seguida, dê uma interpretação geométrica. As equações fornecidas são:
\begin{cases} 2x+y=3\\[4pt] 6x+3y=9 \end{cases}
O que se pede concretamente:
  • Determinar todas as soluções (x,y) que satisfazem as duas equações simultaneamente.
  • Explicar geometricamente o que essas equações representam e o que isso implica sobre as soluções.]

Passo 2

Vou olhar para as equações e testar se uma é múltipla da outra. Multiplicando a primeira equação por \,3, obtemos:
3\cdot(2x+y)=3\cdot 3 \quad\Longrightarrow\quad 6x+3y=9.
Note que este resultado é exatamente a segunda equação do sistema. Portanto, a segunda equação é um múltiplo (três vezes) da primeira.

Passo 3

Como a segunda equação não traz informação nova (ela é redundante), o sistema original é equivalente à única equação
2x+y=3.
Isto significa que temos apenas uma relação entre as duas incógnitas x e y. Em termos algébricos, uma equação em duas incógnitas deixa uma variável livre (grau de liberdade 1), o que normalmente gera infinitas soluções.

Passo 4

Para descrever todas as soluções de forma explicita, escolho uma variável como parâmetro livre. Por exemplo, seja \,t\in\mathbb{R} e tome
x=t.
Substituindo em \,2x+y=3 obtemos
2t+y=3 \quad\Longrightarrow\quad y=3-2t.
Assim a família de todas as soluções é
\{(x,y)\mid x=t,\; y=3-2t,\; t\in\mathbb{R}\}.

Passo 5

Dou alguns exemplos numéricos (úteis para conferir na prova):
  • Para t=0: (x,y)=(0,3).
  • Para t=1: (x,y)=(1,1).
  • Para t=2: (x,y)=(2,-1).
    Qualquer um desses pares satisfaz tanto a primeira quanto a segunda equação (porque as duas são a mesma reta).

Passo 6

Interpretação geométrica (explicada passo a passo):
  • Cada equação linear do tipo \,ax+by=c representa uma reta no plano (x,y).
  • A primeira equação pode ser escrita em forma explicita como
y=3-2x,
ou seja, reta de coeficiente angular (inclinação) -2 e intercepto (ordenada na origem) 3.
  • A segunda equação, por ser exatamente 3 vezes a primeira, representa a mesma reta (mesma inclinação e mesmo intercepto).
  • Quando duas equações representam a mesma reta, a interseção das duas retas é a própria reta inteira: há infinitos pontos em comum. Portanto o sistema tem infinitas soluções, correspondentes a todos os pontos dessa reta.

Passo 7

Classificação final (em linguagem útil para prova):
  • O sistema é consistente (existe solução) e dependente (as equações são linearmente dependentes), logo tem infinitas soluções parametrizadas por um parâmetro real.

Resposta

\{(x,y)\mid x=t,\; y=3-2t,\; t\in\mathbb{R}\}
As duas equações representam a mesma reta y=3-2x no plano, logo há infinitas soluções (todos os pontos dessa reta).

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