Atividade 1: Discuta e resolva cada um dos sistemas a seguir. Depois, Ihes dê uma interpretação geométrica.
\left\{\begin{array}{c}2 x+y=5 \\\\ 6 x+3 y=10\end{array}\right.

Passo 1

Vou deixar clarinho o que o enunciado pede e o que nos foi dado.
O enunciado pede:
  • Discutir e resolver o sistema linear dado.
  • Dar uma interpretação geométrica das soluções (ou da falta delas).
O sistema fornecido é
\begin{cases} 2x+y=5,\\[4pt] 6x+3y=10. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • As duas equações são equações lineares em x e y.
  • Os coeficientes das incógnitas nas equações são (2,1) e (6,3).
  • Os termos independentes (lado direito) são 5 e 10.]

Passo 2

Vamos escolher um método para resolver: eliminação é direto aqui porque os coeficientes já se relacionam de forma simples. Primeiro vou manipular algebricamente as equações sem pular passos.
Multiplico a primeira equação por 3 (para igualar o coeficiente de x ou de y entre as equações):
3\cdot(2x+y=5)\\ \Rightarrow\\\ 6x+3y=15.
Agora escrevo as duas equações (a original segunda e a que obtivemos):
6x+3y=15, \qquad 6x+3y=10.

Passo 3

Subtraio a segunda dessas duas equações para eliminar x e y. Faça passo a passo:
Subtração:
(6x+3y)-(6x+3y)=15-10.
No lado esquerdo as quantidades se cancelam:
0 = 5.

Passo 4

Interpretação algébrica da contradição 0=5:
Uma igualdade impossível como 0=5 mostra que não existe nenhum par (x,y) que satisfaça simultaneamente as duas equações. Em linguagem de sistemas lineares, o sistema é inconsistente — ou seja, não tem solução.
Vou explicar por que isso aconteceu em termos de coeficientes: observando os vetores de coeficientes das incógnitas,
(6,3)=3\cdot(2,1).
Ou seja, a segunda equação tem os mesmos coeficientes que a primeira multiplicados por 3. Mas compare os termos independentes:
10 \neq 3\cdot 5.
Como os coeficientes das incógnitas são proporcionais entre si, mas os termos independentes não são proporcionais na mesma razão, as equações representam retas paralelas diferentes — daí a inconsistência.

Passo 5

Uma forma matricial rápida (para fixar o conceito) também ajuda a entender: considere a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]6 & 3\end{pmatrix}.
O determinante de A é
\det(A)=\begin{vmatrix}2 & 1\\[4pt]6 & 3\end{vmatrix}=2\cdot3-1\cdot6=6-6=0.
Determinante zero indica que as retas podem ser coincidentes (infinitas soluções) ou paralelas distintas (nenhuma solução). Para decidir qual dos dois ocorre verificamos a consistência com os termos independentes: como (6,3) não é múltiplo de (5,10) (ou equivalentemente 10\neq 3\cdot5), o sistema é inconsistente, logo não há solução.]

Passo 6

Interpretação geométrica detalhada (passo a passo para entender na prova):
  • Transformo cada equação para a forma explícita y= (para ler inclinações/interceptos).
    Primeira equação: 2x+y=5 \\ \Rightarrow\\ y=5-2x.Segunda equação: 6x+3y=10 \\ \Rightarrow\\\ 3y=10-6x \\ \Rightarrow\\ y=\frac{10}{3}-2x.
  • Ambas as retas têm o mesmo coeficiente angular (inclinação) -2, portanto são paralelas.
  • Os termos independentes (interceptos em y) são diferentes: 5 para a primeira e \tfrac{10}{3} para a segunda. Como os interceptos diferem, as retas são paralelas distintas e não se cruzam.
  • Geometricamente, “não há solução” significa que não existe ponto de interseção entre as duas retas no plano — nenhuma coordenada (x,y) pertence a ambas as retas ao mesmo tempo.

Passo 7

Comentário extra útil para a prova (memorização prática):
  • Se ao multiplicar uma equação pela mesma constante obtiver exatamente a outra (inclusive o termo independente), então as equações representam a mesma reta e há infinitas soluções (sistema dependente).
  • Se os coeficientes das incógnitas forem proporcionais mas os termos independentes não, as retas são paralelas distintas e o sistema não tem solução.
  • Se os coeficientes não forem proporcionais, as retas têm inclinações diferentes e existe uma única solução (interseção única).

Resposta

Sem solução (sistema inconsistente; contradição 0=5).
As retas correspondentes são paralelas e distintas (mesma inclinação -2, interceptos 5 e \tfrac{10}{3}).

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