Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações. Selecione as verdadeiras.
|\overrightarrow{D P}|=2|\overrightarrow{N D}|

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Decidir se a afirmação |\overrightarrow{D P}|=2|\overrightarrow{N D}| é verdadeira ou falsa e, em caso afirmativo, selecioná‑la.
Informações relevantes dadas (visíveis na figura):
  • A figura é um quadrado dividido em uma malha 3\times3 de quadradinhos iguais (nove quadrados congruentes).
  • Os pontos M,N,P,O estão localizados respectivamente no interior de quadradinhos da malha (apontados na figura).
  • Os vértices superiores esquerdo e direito do grande quadrado são marcados (o vértice superior direito é o ponto D), e as linhas da malha são regulares e igualmente espaçadas.

Passo 2

Escolha de sistema de coordenadas e leitura da imagem:
  • Para calcular vetores e normas de forma precisa, define‑se um sistema de coordenadas cartesianas conveniente: tomar o vértice superior esquerdo do grande quadrado como origem \,(0,0)\,, eixo x para a direita e eixo y para baixo, e escolher o lado de cada pequeno quadrado como unidade 1.
  • Pegou‑se estes dados da imagem: a malha tem 3 colunas e 3 linhas iguais, logo as retas verticais estão em x=0,1,2,3 e as horizontais em y=0,1,2,3.
  • Com essa escolha, as coordenadas úteis (centros das células ou vértice) são: D = (3,0),\qquad N = \Bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}\Bigr),\qquad P = \Bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\Bigr).

Passo 3

Lembrete sobre vetores e norma (fórmulas usadas):
  • Se A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B), então \overrightarrow{AB}= (x_B-x_A,\; y_B-y_A).
  • A norma (módulo) de um vetor \overrightarrow{v}=(v_x,v_y) é |\overrightarrow{v}|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Estas fórmulas são as que serão aplicadas para \overrightarrow{DP} e \overrightarrow{ND}.

Passo 4

Cálculo de \overrightarrow{DP} e sua norma:
  • Primeiro a componente: \overrightarrow{DP}=P-D=\Bigl(\tfrac{1}{2}-3,\;\tfrac{3}{2}-0\Bigr)=\Bigl(-\tfrac{5}{2},\;\tfrac{3}{2}\Bigr).
  • Norma ao quadrado: |\overrightarrow{DP}|^{2}=\Bigl(-\tfrac{5}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2}=\tfrac{25}{4}+\tfrac{9}{4}=\tfrac{34}{4}=\tfrac{17}{2}.
  • Portanto |\overrightarrow{DP}|=\sqrt{\tfrac{17}{2}}=\tfrac{\sqrt{34}}{2}.

Passo 5

Cálculo de \overrightarrow{ND} e de 2|\overrightarrow{ND}|:
  • Componente: \overrightarrow{ND}=D-N=\Bigl(3-\tfrac{3}{2},\;0-\tfrac{1}{2}\Bigr)=\Bigl(\tfrac{3}{2},\;-\tfrac{1}{2}\Bigr).
  • Norma ao quadrado: |\overrightarrow{ND}|^{2}=\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2}=\tfrac{9}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{10}{4}=\tfrac{5}{2}.
  • Portanto |\overrightarrow{ND}|=\sqrt{\tfrac{5}{2}}=\tfrac{\sqrt{10}}{2}, \qquad 2|\overrightarrow{ND}|=2\cdot\tfrac{\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}.

Passo 6

Comparação e conclusão:
  • Comparando as quantidades em forma exata: |\overrightarrow{DP}|=\tfrac{\sqrt{34}}{2}\quad\text{e}\quad 2|\overrightarrow{ND}|=\sqrt{10}.
  • Elevar ao quadrado facilita a comparação: |\overrightarrow{DP}|^{2}=\tfrac{17}{2}=8{,}5,\qquad (2|\overrightarrow{ND}|)^{2}=10.
  • Como \tfrac{17}{2}\neq 10, segue que |\overrightarrow{DP}|\neq 2|\overrightarrow{ND}|.
  • Conclusão: a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa

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