Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações. Selecione as verdadeiras. |\overrightarrow{D P}|=2|\overrightarrow{N D}|
Passo 1
O que o enunciado pede:
Decidir se a afirmação |\overrightarrow{D P}|=2|\overrightarrow{N D}| é verdadeira ou falsa e, em caso afirmativo, selecioná‑la.
Informações relevantes dadas (visíveis na figura):
A figura é um quadrado dividido em uma malha 3\times3 de quadradinhos iguais (nove quadrados congruentes).
Os pontos M,N,P,O estão localizados respectivamente no interior de quadradinhos da malha (apontados na figura).
Os vértices superiores esquerdo e direito do grande quadrado são marcados (o vértice superior direito é o ponto D), e as linhas da malha são regulares e igualmente espaçadas.
Passo 2
Escolha de sistema de coordenadas e leitura da imagem:
Para calcular vetores e normas de forma precisa, define‑se um sistema de coordenadas cartesianas conveniente: tomar o vértice superior esquerdo do grande quadrado como origem \,(0,0)\,, eixo x para a direita e eixo y para baixo, e escolher o lado de cada pequeno quadrado como unidade 1.
Pegou‑se estes dados da imagem: a malha tem 3 colunas e 3 linhas iguais, logo as retas verticais estão em x=0,1,2,3 e as horizontais em y=0,1,2,3.
Com essa escolha, as coordenadas úteis (centros das células ou vértice) são:D = (3,0),\qquad N = \Bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}\Bigr),\qquad P = \Bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\Bigr).
Passo 3
Lembrete sobre vetores e norma (fórmulas usadas):
Se A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B), então\overrightarrow{AB}= (x_B-x_A,\; y_B-y_A).
A norma (módulo) de um vetor \overrightarrow{v}=(v_x,v_y) é|\overrightarrow{v}|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Estas fórmulas são as que serão aplicadas para \overrightarrow{DP} e \overrightarrow{ND}.
Passo 4
Cálculo de \overrightarrow{DP} e sua norma:
Primeiro a componente:\overrightarrow{DP}=P-D=\Bigl(\tfrac{1}{2}-3,\;\tfrac{3}{2}-0\Bigr)=\Bigl(-\tfrac{5}{2},\;\tfrac{3}{2}\Bigr).
Norma ao quadrado:|\overrightarrow{DP}|^{2}=\Bigl(-\tfrac{5}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2}=\tfrac{25}{4}+\tfrac{9}{4}=\tfrac{34}{4}=\tfrac{17}{2}.
Norma ao quadrado:|\overrightarrow{ND}|^{2}=\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2}=\tfrac{9}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{10}{4}=\tfrac{5}{2}.