Atividade 1: Discuta e resolva cada um dos sistemas a seguir. Depois, lhes dê uma interpretação geométrica. \left\{\begin{array}{l}2 x+y=3 \\\\ 6 x+3 y=9\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: resolver o sistema linear e dar uma interpretação geométrica. O sistema dado é
Não há outras condições (domínio é \mathbb{R} para x e y).
O objetivo é encontrar todos os pares (x,y) que satisfazem ambas as equações e dizer o que isso significa geometricamente.]
Passo 2
Escolhi resolver por eliminação (método básico e rápido para dois equações). Vou eliminar uma variável combinando equações: multiplico a primeira equação por -3 e somo com a segunda para tentar zerar os termos de x e y.
A primeira equação é
2x + y = 3.
Multiplicando por -3 obtemos
-6x - 3y = -9.
Agora somo essa linha com a segunda equação \;6x + 3y = 9\;:
(6x + 3y) + (-6x - 3y) = 9 + (-9).
No lado esquerdo todos os termos se cancelam e no direito também:
0 = 0.
Passo 3
O resultado 0=0 significa que a segunda equação não trouxe informação nova além da primeira: as duas equações são dependentes (a segunda é múltiplo da primeira). Isso indica que não há contradição (sistema é consistente) e que provavelmente há infinitas soluções (uma família de soluções paramétrica).
Para obter explicitamente a família de soluções, volto à primeira equação e isolo y:
y = 3 - 2x.
Agora parametro com uma variável livre, digamos t\in\mathbb{R}, definindo x=t. Então
x = t,\qquad y = 3 - 2t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Assim a solução geral é
\{(t,\,3-2t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Passo 4
Verificação rápida: substituindo (x,y)=(t,3-2t) na segunda equação:
6t + 3(3-2t) = 6t + 9 - 6t = 9,
portanto a segunda equação também é satisfeita para todo t. Bom sinal — nossa descrição é correta.
Passo 5
Outra forma de ver a dependência é por matriz aumentada e operação por linhas. A matriz aumentada do sistema é
Fazendo R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 obtém-se a segunda linha nula (0\\\ 0\mid 0). O posto da matriz dos coeficientes é 1 (menor que o número de incógnitas 2), logo há infinitas soluções, parametrizadas por uma variável livre — o que já encontramos.]
Passo 6
Interpretação geométrica (explicando do jeito simples): cada equação linear em x,y representa uma reta no plano. A primeira reta tem forma explícita
y = 3 - 2x,
ou seja, é uma reta de coeficiente angular -2 e intercepto 3. A segunda equação é exatamente 3 vezes a primeira (6x+3y=9 é 3(2x+y=3)), portanto representa a mesma reta. Geometricamente as duas retas coincidem — são a mesma reta — então a interseção é a própria reta inteira: existem infinitos pontos em comum (todas as soluções da forma (t,3-2t)).
Exemplos concretos de soluções: para t=0 tem-se (0,3); para t=1 tem-se (1,1); para t=2 tem-se (2,-1). Todas essas satisfazem ambas as equações.
Resposta
\{(t,\,3-2t)\mid t\in\mathbb{R}\}
Interpretação geométrica: as duas equações representam a mesma reta (retas coincidentes), logo o sistema tem infinitas soluções (toda a reta y=3-2x).